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point fixe et convergence

Posté par
farida
11-04-12 à 15:16

Bonjour
j'ai quelques soucis à propos de la methode des points fixe

soit à resoudre x²=4(x-1)
on propose d utiliser la methode de point fixe baséé sur la fonction g(x)=2*(x-1)
1/etudier la convergence de cette methode et que peut on dire si on choisit X0=1.5  et X0=2

2/choisir un premier terme puis donner une valeur approchée de la solution avec la précision 10^(-3)  .comparer avec le calcul exact
3/donner l ordre de convergence
4/comment peut on améliorer la vitesse de convergence

Réponses:

1/ montrons la convergence de : g(Xn)=X(n+1) avec X0>=1

soit g(x)=2*(x-1) et g(x)=x si x appartient à  [1,+inf[
en represantant graphiquement 2*(x-1) on constate que la suite (Xn) converge vers  2 , donc sa limite unique vaut 2 par suite 2 est la solution de l equation g(x)=x et c est bien le point fixe de g (g(2)=2)

vérifions ça :
en calculant g' on pourra rien conclur puisque  g'(2)=1

choisissons un intervalle I=[2,2,3]
*on montre par récurrence que Xn>=2
pour n=0 X0>=2 donc Xn>=2 est vraie
supposons que Xn>=2 et montrons que Xn+1>=2
on a Xn+1=2*(Xn-1)>=2
donc Xn>=2
** montrons que (Xn) est décroissante
X(n+1)-Xn=- [Xn-2]²/2*(Xn-1 ) +1 <0
alors (Xn) décroit
En conclusion : la suite (Xn) est décroissante et est minorée par 2 donc elle converge


etudions la suite (Xn) lorsque X0=2
DANS ce cas la suite sera constante ( comme 2 est le point fixe de g(x)=x)
pour X0=1.5
dans ce cas la suite ne converge pas on s arrete à la 4 éme iteration

En conclusion si X0>=2 LA suite converge vers 2
si X0<2 la suite ne converge pas

2/on prend X0=3 (  en prenant en consideration que X0>2 pour converger vers une solution)
on s arrete lorsque |Xn+1-Xn|<10^(-3)
( je vais pas faire les calculs!)

3/si g'(alpha)est different de 0 donc la convergence est d ordre 1 avec alpha est le point fixe de g ( je viens de voir ça dans un cours klk part par contre j arrive pas à le demontrer  !et si g' vaut zero donc la methode est d ordre 2!quelqu un svplé pourra me demontrer ce théoreme?)

bref, comme g'(2) 0 donc la methode est d ordre 1

4/on peut améliorer la methode en utilisant l algorithme d aitken
Yn=Xn-[X(n+1) - Xn]²/[X(n+2) -2 X(n+1)+Xn]
on prends par exemple X0=3
et on calcul...

merci de m avoir aidée  

Posté par
farida
re : point fixe et convergence 14-04-12 à 12:45

Bonjour

j'attends toujours un peu d aide pour mon exo , j 'ai un examen cette semaine et je suis en période de préparation ...j 'éspère recevoir vos réponses

merci d avance de m avoir répondue

Posté par
lafol Moderateur
re : point fixe et convergence 14-04-12 à 23:27

Bonjour
je ne comprends pas comment tu peux affirmer de manière aussi péremptoire que pour x_0 > 2 ça ne converge pas ?
avant de parler de convergence, faudrait d'ailleurs s'assurer que la suite est bien définie...
(avec x_0=1 par exemple, on a x_1=0 et on est bien embêté pour calculer x_2 ....)



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