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Niveau Licence Maths 1e ann
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Points critiques sur fonctions à 2 variables

Posté par
momima0007
20-04-13 à 16:47

Bonjour,
On a une fonction à 2 variables allant de R² à R :
C'est : f(x,y)=(x-2y)*[e^(-x²-y²)]

J'ai comme dérivées partielles :

en fonction de x : e^(-x²-y²) + (x-2y)(-2x)e^(-x²-y²)
en fonction de y : (-2)*[e^(-x²-y²)] + (x-2y)(-2y)e^(-x²-y²)

Pour les points critiques je dois chercher x et y tel que :
e^(-x²-y²)*[1+(x-2y)(-2x)]=0
e^(-x²-y²)*[-2+(x-2y)(-2y)]=0

J'en déduit que je dois résoudre trouver les points critiques de ce système :
(x-2y)(-2x)+1=0
(x-2y)(-2y)-2=0
De plus, on remarque que (x-2y),(-2x) et (-2y) doivent être différent de 0. (je me trompe ? )
Et à ce stade je suis bloqué, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider ce serait gentil.
Merci.

Posté par
otto
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 16:51

Bonjour,

Citation :
De plus, on remarque que (x-2y),(-2x) et (-2y) doivent être différent de 0. (je me trompe ? )

non tu ne te trompes pas mais c'est inutile.

Ta première équation est une équation de degré 2 en x et la 2e est une équation de degré 2 en y

Posté par
momima0007
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 17:01

Merci otto,

J'ai donc :
             -2x²+2xy+1=0
et            2y²-2xy-2=0

Comment est ce que je peut résoudre ce système ?
Je ne peut pas utiliser le discriminant.

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 17:49

Quelqu'un aurait une idée svp ?
merci

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 17:50

Corrige ta petite erreur de calcul, et le système te paraîtra peut-être plus facile à résoudre.

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 17:56

merci GaBuZoMeu pour la correction,
du coup j'ai :
      -2x²+4xy+1=0
et    -2yx+4y²-2=0

Ça ne change pas grand chose.
Si quelqu'un peut m'éclairer ce serait super, pske là je ne vois pas du tout l'astuce.
merci.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 18:01

Tu peux tirer y en fonction de x de la 1e équation et porter dans la 2e...

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 18:21

D'accord merci,
donc j'ai bien exprimer y en fonction de y à l'ai de la 1ere équation et j'ai :

y=(2x²-1)/(4x)

Je remplace donc y dans ma 2e équation par (2x²-1)/(4x):
je me retrouve alors avec : une grosse équation que je simplifie et j'obtiens :
(16x4+16x²+1-16x4+8x²-32x²)/(16x²)=0

j'en déduit que :
(16x4+16x²+1-16x4+8x²-32x²)=0 et j'aboutit à un résultat élémentaire qui est :
0=0  lol

C'est logique mais ça ne permet pas de trouver les points critiques...
C'est bien cela ?

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 18:51

up

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 19:14

Tu devrais mettre un peu plus de soin dans tes calculs.

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 19:19

Je ne vois pas ce que vous voulez dire.
J'y est mit du soin, je suis tout simplement bloque dans ce système.
Si quelqu'un aurait la méthode, je suis preneur.
Merci.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 19:29

Tu as encore fait des erreurs de calcul. Et tu devrais aussi faire attention à ton français : "J'y est mit du soin".

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 19:37

Oui, merci.
Le problème est que si j'ai aboutit à 0=0, c'est que (selon moi) je ne me suis pas trompé.
La faute se situe où exactement svp ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 19:40

Citation :

Le problème est que si j'ai aboutit à 0=0, c'est que (selon moi) je ne me suis pas trompé

Conclusion beaucoup trop hâtive.

Reprends ton calcul.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 19:41

Tes deux équations sont correctes maintenant, c'est dans la résolution que ça se gâte.

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 19:59

En effet,
MERCI.
Je trouve donc :

x=-(1/2) et y=1/4.

C'est bien le seul point critique ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 20:03

Décidément, encore des erreurs. Rentre ces valeurs dans tes deux équations, pour vérifier.

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 20:11

Je suis vraiment pas doué aujourd'hui.
J'ai bien, d'après la 1ere équation :

y=(2x²-1)/(4x) ?

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 20:22

J'ai finalement :

x=1/10 ou x=-1/10

Donc : y= -(10)/5
ou     y= (10)/5

J'ai donc 4 points critiques qui vérifient l'équation.
merci

Posté par
GaBuZoMeu
re : Points critiques sur fonctions à 2 variables 20-04-13 à 20:51

Non, pas quatre. Réfléchis ! Tu as bien y en fonction de x, non ?

Posté par
momima0007
re 20-04-13 à 20:55

Oui, 2 finalement.
Merci pour l'aide.



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