Bonsoir,

Qu'est-ce qu'un point d'accumulation d'une suite (en utilisant une suite extraite), à partir de là qu'est-ce qu'un point d'accumulation de points d'accumulation puis un point d'accumulation de points d'accumulation de points d'accumulation, etc... ?

C'est quoi un point d'accumulation d'une suite ?

Je ne connais que la notion de " point d'accumulation   d'une partie  X  d'un topologique E  " .

Merci Schtromphmol, je vais utiliser ça et les théorèmes qu'on a vu en cours pour répondre. J'ai l'impression que la réponse sera vrai.

Un point d'accumulation d'une suite est un point auprès duquel on y trouvera à une distance infinitésimale un point de la suite (différent dudit point d'accumulation), si j'ai bien compris.

Si jamais cette vidéo explique bien : https://www.youtube.com/watch?v=9D-ZlJUnNZM

Je crois qu'il veut parler de point d'adhérence.

1.
  Si A est une partie d'un espace topologique on désigne souvent par A ' l'ensemble des
points d'accumulation  de A .
Donc x A '   SSI   tout voisinage de x  rencontre A \ {x} .
On définit alors la suite n A_n par   A₀  = A et  A_n+1  = ( A_n) '  pour pour tout n   .
Cette suite est décroissante .
On peut fabriquer un ensemble dénombrable A tel que la suite  des A_n soit strictement décroissante ( alors aucun des A_n  n'est vide )

2.
    Si u : on peut dire que (u()) '  est l'ensemble des  points d'accumulation  de u .

Il est alors clair que " chaque point d'accumulation de points d'accumulation de points d'accumulation de points d'accumulations (oui autant de fois) d'une suite u est lui même un point d'accumulation de u "

3.
   Remarque :
Si c (u()) ' il est  assez facile de construire par récurrence une sous-suite de u qui converge vers c . Par suite c est une valeur d'adhérence de u .

Par contre il peut exister des valeurs d'adhérence de u  qui ne soient pas dans (u()) ' .