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points stationnaires

Posté par
double0 18-09-08 à 16:07

bonjour,

on vient de faire un td sur les extremum et je me pose une question :

nous avons la fonction f(x;y) = \frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}

j'ai bien compris que les points stationnaires correspondent aux points où la différentielles est nulle. Il nous faut donc résoudre le système d'équations formé par les dérivées partielles d'ordre 1 qui s'annulent.

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(y-x^2)}{(y+1)(x+1^)^2(x+y)^2}              \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x-y^2)}{(x+1)(y+1^)^2(x+y)^2}

j'obtiens donc le systeme d'équation suivant :

\{{y=0 \ ou \ y-x^2=0\atop x=0 \ ou \ x-y^2=0}

apres calcul j'obtiens :

\{{y=0 \ ou \ y=1\atop x=0 \ ou \ x=1}


j'aurais tendance à conclure que les solutions de ce systeme sont les axes y=0 et x=0 et le point (1,1) or notre prof nous a dit que seul le point (1,1) etait bon mais je ne comprends pas pourquoi .Si quelqu'un peut m'éclairer ce serait top . merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : points stationnaires 18-09-08 à 16:21

Bonjour

Le domaine de définition, exclut le dénominateur nul.

Je n'ai pas vérifié les dérivées partielles, mais si ton système est juste, les solutions sont (0,0) et (1,1) mais (0,0) a été écarté dès le début, donc c'est bien (1,1) le seul point stationnaire.

Posté par
double0re : points stationnaires 18-09-08 à 16:29

bonjour et merci Camélia,

je venais tout juste de m'apercevoir que (0,0) était exclu du domaine de définition mais quand j'écris

" y=0 ou
  x=0 ou " ligne 8 de mon message précédent, je comprends y=0 quelque soit x et x=0 quelque soit y. Peux-tu me dire où est mon erreur de compréhension.

je te remercie.

Posté par
Camélia Correcteurre : points stationnaires 18-09-08 à 16:31

Si tu prends y=0 dans la première équation, tu dois satisfaire (x=0 ou x=y2) dans la seconde et les deux propositions entrainent x=0.

Posté par
double0re : points stationnaires 18-09-08 à 16:34

geniale , tu es merveilleuse !

merci .


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