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Points stationnaires / points critiques.
Bonsoir,
j'ai un partiel de maths demain matin, et il y a un point du cours que je n'ai pas du tout compris, concernant les points critiques.
Je poste ici un exercice d'annale de l'an dernier, avec sa correction, en espérant que quelqu'un sera capable de m'expliquer la marche à suivre.
Merci d'avance !
Etudier les points stationnaires (ou points critiques) de la fonction de deux variables
f(x, y) = x2 + 2xy − 2y2 + y3.
Solution :
f'x = 2x+2y
-> f''xx = 2
-> f''xy = 2
f'y = 2x-4y+3y²
->f''yx = 2
->f''yy = -4+6y
On recherche les couples (x,y) tels que f'x=f'y=0.
(Là, je saurais faire, mais je poste quand même parce que je ne comprends pas la conclusion).
2x+2y=0 -> y = -x 2x-4y+3y² = 0
-> 2x+4x+3x² = 0
En résolvant, on se retrouve avec :
x=0 y=0
et x=-2 y=2
De là; la conclusion :
En (0;0), r=2, s=2, t=-4 ; rt-s² = -12 < 0 -> col (?)
En (-2;2), r=2, s=2, t=8 ; rt-s²=12 > 0 -> r=2>0 -> min
Voilà voilà ...
Précision : ce que je ne comprends pas dans la conclusion, c'est l'apparition des r, s et t. Est ce une formule à connaitre, quelque chose qu'il faut toujours faire ?
Bonsoir,
EN (0,0) par exemple , il doit y avoir dans ton cours (ou celui de l'an dernier...perso je n'aime pas ces r,s,t à apprendre par coeur c'est un peu contre productif)
le fait que si r=2, s= 2 et t = -4
alors en fait la matrice hessienne de f en ce point est
2 2
2 -4
ça veut dire qu'elle représente une forme quadratique : 2h2 - 4 k2 + 4 hk
si h = 0 alors ta forme prend des valeur strit négative, si k = 0 elle en prend des positive strict.
Bref elle change de signe: c'est la caractéristique d'un point col (on peut étudier les cas en fonction de rt-s2 mais je n'en vois pas l'intérêt)
RAppel de cours si f est deux ou trois fois différentiable en un point a :
f(a+ z ) = f(a) + f ' (a) (z) + f '' (a) (z,z)/2 + o( ll zll 2)
quand tu as un point critique f ' (a) = 0 donc
f(a+z) > = f(a) ssi f '' (a) est positive , et donc on a un minimum en a , si f'' (a) change de signe : point col
(en gros je ne mets pas la preuve rigoureuse c'est juste un rappel)
Bonsoir lolo, merci de ta réponse.
Pour être honnête, j'ai rarement mis les pieds en cours de maths cette année. Cause : un prof qui ne parle quasi pas français. Du coup, je me retrouve avec un cours mis à la disposition des élèves, mais trop ardu pour nous.
J'ai vu dans ce cours l'histoire des matrices, je ne pensais pas que c'etait censé être connu. Mais apparemment si 
Je vais essayer de bosser là dessus alors.
C'est quoi, une forme quadratique ? Il y a une définition ?
oui q est une forme quadratique s'il existe B bilinéaire symétrique telle que q(x) = B(x,x).
En fait ...si c'est pour demain , tu as juste besoin de savoir que
r s
s t
c'est la forme quadratique , avec x = (h,k) , q(x) = r h2 + 2s hk + t k2
Bon, déjà, en étudiant bien mon annale, j'ai compris le début de la résolution de l'exo : les dérivés, puis dériver la dérivée, chercher les valeurs pour lesquelles cela s'annule ...
Je vais essayer de bosser sur cette histoire de forme quadratique, mais je serais déjà bien contente, vu mon niveau de maths, d'arriver à faire le début 
Pour info, je suis en Licence de Bio ... alors les maths
En tout cas, merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'éclairer 
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