Bonjour.

C'est vrai que cet exercice commence fort, surtout pour ce qui est de la méthode pour calculer la longueur IA, après ça va tout seul...

Alors je te propose une méthode un peu compliquée, mais je n'ai pas trouvé plus simple, pour calculer IA.
Pour commencer on se place dans l'octogone régulier de centre le point O. Comme il est régulier, tous les côtés ont la même longueur, et de plus les "angles au centre" (je ne suis pas certain du nom) sont égaux, par exemple l'angle AOB veut pareil que tout autre angle d'un triangle joignant deux sommets consécutifs de l'octogone et le centre O. Donc là on peut en déduire la valeur de l'angle AOB qui est de 360°/8 (nombre de côtés d'un octogone).
Ensuite, on sait que AOB est un triangle isocèle donc si on prend le triangle AOI, avec I milieu de [AB], on a que l'angle AOI vaut la moitié de AOB.
Enfin, on a que AOI est un triangle rectangle, et on connaît AO et l'angle AOI, donc on choisit une relation trigonométrique pour déterminer AI.

Ensuite, on veut calculer OI. Là deux méthodes possibles : soit encore la trigo en utilisant l'angle AOI et la longueur AO ; sinon le théorème de Pythagore dans le triangle AOB.

Pour l'aire du triangle AOB, c'est juste la formule d'aire d'un triangle : [base x hauteur]/2 et on connaît la base et la hauteur (question 1). Ensuite l'aire de la base du prisme, il suffit de compter le nombre de triangles identiques à AOB que cette base contient, et on multiplie l'aire du triangle AOB par ce nombre.

Enfin le volume de ce prisme, pour cela on multiplie l'aire de la base du prisme par la hauteur du prisme, c'est-à-dire OO'.

Voilà, en espérant que tu aies bien compris mon raisonnement (je ne dis pas que c'est le plus facile ! ).

360° / 8 = 45°

Dans le triangle isocèle AOB
triangle iso en O
I est le milieu de [AB]

(OI) est :
hauteur
bissectrice
et médiatrice de [AB]

On prend le triangle rectangle AOI
triangle rectangle en I
OA = 4
on connaît les angles ...

On cherche la hauteur [OI] et
la longueur AI