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Polynome
Bonjour
Je révise les polynomes en ce moment sur un exercice dit 'classique', et je rame, je rame.. Si quelqu'un était prêt à passer un peu de temps avec moi pour m'aider pas à pas ce serait extra-ordinaire..!
On considère (Pn) et (Ln) deux suites de polynomes définies par
P0=1,et pr tout naturel n non nul, Pn= (X+1)^n.(X-1)^n et Ln= Pn^(n) ou ^(n) désigne la dérivée n-ieme
Partie I
1) L0=1, L1=2X, L2=12X^2 -4
2) On a montré que Ln était un polynome de degré n, il faut ensuite déterminer son coefficient dominant. Je n'arrive même pas aux vues des premiers termes a trouver une relation entre a0=1, a1=2, a2=12.. alors en fonction de n, je n'imagine pas ..
3) Comparer L(X) et L(-X). J'ai remplacé (X) par (-X) dans Pn que j'ai factorisé Pn=(X^2-1)^n puis ai pris la dérivée n-ieme, je suis retombée sur L(X) et en ait déduit que Ln était un polynome pair. Mais qqn m'a dit que mon raisonnement était faux et qu'il fallait que je montre par une récurrence habituelle que L(X)=(-1)^n.L(X). Mais vu l'expression de Ln, dérivée nieme, je ne vois pas comment mener la récurrence a son terme !
4) Déterminer pour tout n non nul et pour tout k dans [0, n-1] les valeurs de Pn^(k) (1) et Pn^(k) (-1).. En utilisant la formule de Leibniz, je ne trouve rien de clair ni concret..
5) A l'aide de la formule de Leibniz expliciter pour tout n Ln sous forme de somme. En déduire la valeur de Ln(1) puis celle de Ln(-1).Je suppose qu'il faut réutiliser les résultats précédents concernant Pn^(k) mais..
A vrai dire je suis perdue 
, je ne sais pas comment m'y prendre..
Si quelqu'un a du temps pour m'aider à comprendre tout ça..Et avait ensuite l'envie irrépressible de continuer à travailler avec moi sur la Partie II..Je surveille le forum et vous tiendrai au courant de mon avancée.
Merci ! Et bonne soirée à tous
Arctan
Salut!
Malheureusement, je n'ai pas le temps de t'aider, je te dis juste que ton expression de L2 est fausse.
Il faut que tu réécrives Pn(X) sous la forme:
Pn(X)=(X2-1)n, je pense que ça t'aidera plus.
Ainsi, tu as directement que le coeff. dominant de Ln est 2n.
Désolé, je n'ai pas le temps de plus t'aider. Bon courage.
Bonjour
, de degré 2n et de coeff dominant 1.
sa dérivée n-ième sera de degré n, et le coeff dominant résultera de la dérivée n-ième de : ce sera 2n(2n-1)(2n-2)...(n+1), ou si tu préfères,
Pour la parité : P est clairement pair. Sa dérivée est impaire, sa dérivée seconde est paire, ... L_n a donc la même parité que n.
Ensuite, 1 et -1 sont racines multiples d'ordre n de Pn, donc les dérivées jusqu'à l'ordre (n-1) de Pn s'annulent pour 1 et -1
Bonjour et merci beaucoup à tous les deux
lafol, tu me dis donc que mon L2 est correct, peux tu m'expliquer plus pourquoi le coeff dominant de Ln découle de la dérivée nieme de X^2n ?!
Pour la parité, je dois montrer par récurrence que Ln(X)=(-1)^nL(X) ?
Et enfin pour 1 et -1, y'a t il une façon "rigoureuse", un calcul pour montrer qu'elles sont d'ordre n ?
Merci
Et pour la formule de Leibniz ?
J'écris
Ln = Pn^(n)
= [(X+1)^n.(X-1)^n]^(n)
= 
(de k a n) (k/n)(X+1)^(k).(X-1)^(n-k)
= (de k a n-1) (k/n)(X+1)^(k).(X-1)^(n-k) + (n/n)(X+1)^(n).(X-1)^(n-n)
Donc Ln(1)= .. je trouve 0 de toute façon tout le temps ?!
le seul terme en X^(2n) de Ln est X^(2n)
le seul terme en X^n de sa dérivée n-ième sera la dérivée n-ième de X^(2n)
1 et -1 sont d'ordre n car on a (X-1)^n et (X+1)^n en facteur ....
Rebonsoir
Merci encore de ton aide Lafol, j'ai bien compris 
Et merci aussi à Gui-tou, je n'ai jamais vu les polynomes de Legendre mais au regard du cours présenté..si..clairement.
Je vais me pencher là dessus pour pouvoir comprendre cmt gérer l'exercice..et hopefully le réappliquer en DS!
Merci à tout le monde pour votre aide, et bonne soirée !
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