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Polynôme
Bonjour,
J'ai un exercice sur les polynômes à résoudre mais je n'y arrive pas...
P(X) = X^4 + aX^3 + bX² + cX + d
où a,b,c,d sont des réels.
On sait que P(2i) = P(2+i) = 0
Que vaut a + b + c + d ??
Je note n1, n2, n3, n4 les racines du polynôme.
Je fais :
n1*n2 = 2i*(2+i)
n1 + n2 = 2+3i
puis j'essaie de faire avec les sigmas mais je me trouve avec des équations trop bizarres...y aurait il d'autres solutions??
sigma1 = n1 + n2 + n3 + n4 = -a
sigma2 = n1n2 + n1n3 + n1n4 + n2n3 + n2n4 + n3n4 = b
sigma3 = n1n2n3 + n1n3n4 + n1n2n4 + n2n3n4 = -c
sigma4 = n1n2n3n4 = d
après j'essaie de résoudre en remplaçant mais je ne trouve pas...
Il doit y avoir une autre tactique...j'aurais donc besoin un peu d'aide.
Merci beaucoup d'avance.
Nonoch.
a, b, c d étant réels tu peux aussi dire que P(2i) = 0 et P(2+i) = 0 => P(-2i) = P(2-i) = 0.
Donc, P a pour racines 2i, -2i, 2+i, 2-i.
ha d'accord donc je factorise P(X)=(X-2i)(X+2i)(X-2-i)(X-2+i)
et j'identifie? donc les relations coefficients racines n'interviennent pas?
Ce serait trop compliqué.
Tu remarques que (X-2i)(X+2i) = X²+4 et que (X-2-i)(X-2+i) = (X-2)²+1.
Donc P(X) = (X² + 4)(X² - 4X + 5)
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