salut

une racine multiple de P est racine de P et de P' ...

Oui mais du coup je dois faire quels calculs ? Je vois pas comment démontrer le fait que P n'a pas de racines multiples dans Q...

note p/q un rationnel et écris que P(p/q) = 0 et P'(p/q) = 0

puis résous le système ....

Je tombe sur un système très compliqué.. que j'arrive pas a résoudre

on peut voir ....

voilà:
(p/q)^4+2(p/q)²-4(p/q)+1=0
4(p/q)^3+4(p/q)-4=0

débarrasse toi des fractions et simplifie !!!

bonjour inutile de se compliquer ainsi la vie : si x est racine multiple de P, alors x est racine de P', or P' = 4x^3 + 4x - 4
donc si x est racine multiple de P, alors x vérifie x^3 = 1 - x
De plus x est aussi racine de P, donc x^4 + 2x² -4x + 1 = 0, ce qui devient, compte tenu du fait que x^3 = 1 - x : x(1 - x) + 2x² - 4x + 1 = 0
c'est une équation du second degré, sa résolution donnera les seuls candidats pour être racines doubles de P : comme aucune des racines obtenues n'est rationnelle, c'est réglé, P n'a pas de racine double rationnelle.

oui lafol je voulais proposer par la suite cette méthode ....