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Polynome
Bonjour,
Je sèche sur la question 3
Soit f : IR → IR, x → (x^2 +1)^-1/4
1. Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à n noté Pn, tel que la dérivée n ieme de f soit égal à Pn(x)(x^2 +1)^(-n- 1/4)
2. Déterminer une équation différentielle du premier ordre, à coefficients polynomiaux vérifiée par f.
3) en déduire que :
Pn+1(x) +(2n+ 1/2)xPn(x) + n(n- 1/2)(1+x^2)Pn-1(x) = 0
La question 1 pas de soucis, la question 2 je trouve :
f'(x)(x^2 +1) = Pn(x)f(x)
Mais question 3 impossible
Bonjour,
Ta réponse pour 2) ne va pas :
Les questions 1) et 2) sont indépendantes.
Que trouves-tu comme dérivée de f ?
f'(x)(x^2 +1) = P1(x)f(x) plutôt pardon (en appliquant la Q1 à n=1)
La derivee de f est -1/2 x (x^2 +1)^-5/4
Bonjour carpediem,
Je te laisse volontiers poursuivre.
on peut remarquer que :
donc
et en divisant par
moi itou ...
une fois que tu as (montrer réellement que) :
puis que
alors en dérivant deux fois (1) on peut en combinant les trois égalités obtenues arriver à la relation demandée ... en utilisant éventuellement (2)
REM : il peut être pratique de poser et en sachant donc que
ce qui permet d'alléger la rédaction et voir mieux les choses
Bonjour,
Les indications données par carpediem à 20h52 ne peuvent pas fonctionner : que va-t-on faire des et
qui ne vont pas manquer d'apparaître ?
Une solution possible pour 3) :
On dérive fois l'équation différentielle du 2)
pour conjecturer la relation :
qu'on peut éventuellement montrer par récurrence.
Puis on utilise 1).
Bonjour carpediem,
Je crois avoir compris ce qui s'est passé :
N'aurais-tu pas confondu par exemple et
?
Bonjour Kohle, et bienvenue sur l'île 
Oui, ça marche.
En fait la relation de l'énoncé du 3) est équivalente à
Elle peut effectivement se démontrer par récurrence.
On peut préférer démarrer au rang 1 si ce que ça donne au rang 0 parait louche.
PS Merci de renseigner ton niveau dans ton profil
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