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Niveau Maths sup
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Polynôme à coef matrice

Posté par
Atepadene
03-01-24 à 17:26

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide sur l'énoncé suivant
Soit
(D_k)_{k\in \llbracket 0,p\rrbracket}
une famille de matrice carré de taille n telle que
\forall x \in \mathbb(K), \sum_{k=0}^{p}x^kD_k = 0
Montrer que tous les D_k sont nuls
J'ai essayé par récurrence fini sur k dans [0,p] sauf que pour l'hérédité au rang i je me retrouve à vouloir diviser
\sum{k=i+1}^{p}x^kD_k=0
Par x^i puis à appliquer en 0 ce qui est bien sur pas faisable. Tout aide est le bienvenue, merci d'avance

Posté par
Atepadene
re : Polynôme à coef matrice 03-01-24 à 17:28

J'ai mal écrit en latex excusez moi, le dernier ligne de math est
\sum_{k=i+1}^{p}x^kD_k=0

Posté par
Zormuche
re : Polynôme à coef matrice 03-01-24 à 17:31

Bonjour
Je ne comprends pas trop dans quel espace on se situe, K est le corps associé à ton espace vectoriel ? et c'est quoi x, et x^k ?

Ma première idée est que si c'est vrai pour tout  x\in K, alors en particulier ça peut être vrai pour un x (ou plusieurs) bien choisi(s) qui pourrait montrer que D_1 est nul
etc.
à voir ce que ça donne !

Posté par
carpediem
re : Polynôme à coef matrice 03-01-24 à 17:35

salut

ce qui est vrai pour tout x est vrai pour certains x ...

je prendrai x = 0, 1, 2, ..., p

ainsi déjà pour x = 0 on obtient D_0 = O

pour x = 1 et pour x = 2 on obtient alors :

\sum_1^p D_k = O L1
\sum_1^p 2^k D_k = O L2

puis je calculerai L2 - 2 * L1 ...

et ainsi de suite pour obtenir un système triangulaire d'équation

une autre façon de faire est de dériver ...

Posté par
carpediem
re : Polynôme à coef matrice 03-01-24 à 17:36

ha ben si l'énoncé change ...

Posté par
MattZolotarev
re : Polynôme à coef matrice 06-01-24 à 18:29

Et bien, j'aurais tendance simplement à dire :
Pour k\in [\![0,p]\!], je note
D_k=\begin{pmatrix}d^{(k)}_{1,1} & \dots & d^{(k)}_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ d^{(k)}_{n,1} & \dots & d^{(k)}_{n,n}\end{pmatrix}.

Donc pour tout x\in\mathbb{K}, on a

\underset{k=1}{\overset{p}{\sum}}x^kD_k=\begin{pmatrix} \underset{k=0}{\overset{p}{\sum}}d^{(k)}_{1,1}x^k & \dots & \underset{k=0}{\overset{p}{\sum}}d^{(k)}_{1,n}x^k \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \underset{k=0}{\overset{p}{\sum}}d^{(k)}_{n,1}x^k & \dots & \underset{k=0}{\overset{p}{\sum}}d^{(k)}_{n,n}x^k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_{1,1}(x) & \dots & P_{1,n}(x)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ P_{n,1}(x) & \dots & P_{n,n}(x)\end{pmatrix},

où l'on a posé : \forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2,\ P_{i,j}(X)=\underset{k=0}{\overset{p}{\sum}}d^{(k)}_{i,j}X^k\in\mathbb{K}_n[X].

Fixons (i,j)\in [\![1,n]\!] ^2. Alors l'énoncé dit en fait que pour tout x\in\mathbb{K}, P_{i,j}(x)=0. Comme (j'imagine) \mathbb{K} est un corps infini et que P_{i,j} est un polynôme de degré fini p, alors c'est le polynôme nul : \forall k\in [\![0,p]\!],\ d^{(k)}_{i,j}=0

Ceci étant vrai pour tout  (i,j)\in [\![1,n]\!] ^2, on a en fait montré que : \forall k\in [\![0,p]\!], \forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2, d^{(k)}_{i,j}=0, i.e. \forall k\in [\![0,p]\!],D_k=0.



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