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Polynôme d'interpolation de Lagrange
bonjour à tous,
J'ai des petits soucis liés à un probleme de maths ; je vous le soumets donc pr un peu d'aide
Pour tout n entiers positifs, pour tout (n+1)-uplet (x0,x1;...,xn) de réels dinstincts et tous ( µ0,µ1,...,µn) appartenant à R^(n+1), on va montrer qu'il un existe un unique polynôme P(n) de degré inférieur ou égal à n tel que l'on ait:
pout tout i apparenant à {0,1,...,n}, Pn(xi)=µi
la 1ere question me posé déja des soucis
1) Démontrer cette proposition pour n=0,1,2, utiliser la méthode des déterminants si nécessaire.
voila si qqun aurait des pistes
merci davance
Pour n=0, il existe le polynôme constant mu 0 qui vaut mu 0 en x0
Pour n=1, ça revient à chercher l'équation d'une droite passant par deux points donnés...
Pour n=2, tu écris tes trois équations ....
Bonjour ;
Normalement " L'interpolation de Lagrange " c'est du cours et on trouve la démonstration que je vais donner pratiquement dans tous les manuels de cours :
On attaque tout de suite le cas général ,
Unicité :
Soit tels que
et il est alors clair que le polynôme (qui est de degré au plus
) admet au moins
racines distinctes que sont
on conclut que le polynôme est necéssairement nul (vu que le nombre de racines distinctes d'un polynôme non nul ne peut dépasser son degré) d'où l'unicité.
Existence :
On fait appel aux polynômes
(appelés polynômes élémentaires de Lagrange) définis par :
ces polynômes sont tous de degré et vérifient
et ainsi si on pose il est aisé de vérifier que
est le polynôme cherché
(sauf erreur bien entendu)
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