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Polynome d'interpolation de Lagrange
Bonjour !
Voila, j'ai un DM d'algèbre (S2 de Licence MI), et je n'arrive pas à comprendre une partie du sujet. Voila le sujet en question :
Soit n
et a1,...an des points de 
deux à deux distincts.
On considère les polynômes suivants, pour i[|A,n|] :
Pi=(
j
i(X-aj))/(ji(ai-aj))
1/ Que valent les polynômes Pi aux points a1,...,an ?
Fait : 1 si i=j, 0 sinon.
2/ Montrer que (P1,...Pn) est une base de n[X]
Fait par récurrence
3/ Montrer que pour tout nuplet (b1,...,bn)n, il existe un unique polynome Q de degré inférieur à n et Q(ai)=bi, 
i [|1,n|]. Donner une formule pour Q.
Alors là, j'ai beau chercher, je ne trouve pas, je ne vois pas ce que ça veut dire, et encore moins comment faire. Un petit coup de main ?
Merci !
Pour la question 2, voila ma recurrence :
1P1=0 si 1=0 donc ok pour initialization
On suppose 1P1+...+n-1Pn-1=0 
1=...=n-1=0
On montre que 1P1+...+n-1Pn-1=0... Donc on cherche à montrer que nPn=0 si n=0, or Pn(X)0 pour Xan donc (P1,...,Pn) est libre de dimension n dans n[X], donx est une base.
Bonjour,
Pour 3) il faut utiliser 1) et 2). Pour prendre un exemple très simple, n=2, regarde ce que vaut b1P1(x)+b2P2(x) aux points a1 et a2. Tu généralises alors sans difficulté.
Alors, je prend n=2.
J'obtient b1P1(a1) + b2P2(a2)= b1 + b2
Qu'en déduis-je ? Est ce correcte ?
Ma récurrence est elle bonne (demanda t'il dans la foulée) ?
non, x ne doit pas varier d'un polynome a l'autre
regarde b1P1(a1)+b2P2(a1)
idem en a2
et généralise
Alors, petit retour sur la question 2, ma récurence est nulle, donc j'essaye une autre méthode, résoudre 1P1+nPn=0 => 1=...=n=0
Voila le développement et la question qui en découle :
1((X-aj)/a1-aj))+...+n((X-aj)n/(a1-aj)...(an-aj)=0
je nomme 
1=a1-aj,
2=(a1-aj)(a2-aj)
...
n=(a1-aj)...(an-aj)
et j'obtiens, une fois factorisé,
(X-aj)(1((X-aj)/ 1)+...+n((X-aj)n-1/ n)=0
Je pose Xaj (pourquoi d'ailleurs ?)
et j'obtiens, en posant Y=(X-aj
(1/1)+(2/2)*Y+...+(n/n)*Yn-1.
Comment puis je en déduire 1=...=n=0 ??
Merci !
Oula, c'est beaucoup trop compliqué.
Tu sais que Pi(aj)=1 si j=i et 0 sinon.
Donc si 1P1+......+n[/sub]P[sub]n=0, regarde ce qui se passe quand x vaut l'un des a_j
si x vaut l'un des aj, le polynome vaut 0, et si j=i, alors on a plus qu'un polynome, disons pk, tel que Pk(aj)=1, donc le k correspondant doit être nul, c'est ça ?
Merci !
Voila, systematiquement P(a_i)=i. Donc si le polynome est nul, il est nul sur tous les ai et tous les coefficients sont nuls.
Donc les Pi sont une base.
Et pour la question d'après, je trouve b1P1(a1)+b2P2(a1)=b1
b1P1(a2)+b2P2(a2)=b2
Est ce bon ?
Je ne vois pas trop quoi en déduire, ni comment généraliser...
Merci !
rien à voir ici mais je ne sais pas si j'ai bien placé mon message sur le forum je ne le retrouve pas et je n'ai pas trop de réponse...(je suis nouveau ici dsl...)mon sujet c'était quadratique!!!
koffre : ton sujet est là : 
quadratique (clique sur la maison, c'est un lien)
pour retrouver tes sujets, clique dans la barre orange (en haut ou en bas de la page) sur le petit bonhomme à philactère.
Encore une zone obscure : comment montre l'existence et l'unicité du polynôme Q ?
Unicité : Q(ai)=bi et Q'(ai)=bi, donc Q(ai)=Q'(ai)... ça m'a l'air bien léger !
Merci !
Quel est le degré de Q ? de Q' ? de la différence ? combien de racines distinctes tu as pour la différence ?
alors, degré se Q j'ai n, degré de Q' pareil, degré de la différence 1 (différence égale à 0, non ?)
Me trompe-je ?
Merci !
ah oui aussi, quelque chose me chagrine, le prof a fait une correction sur le DM, question 2, il dit qu'il faut montrer que (P1,...,Pn) est une base de n-1[X], parce qu'on a ij, mais Pi, Pn est de dimension n, donc une base d'un espace de dimension n, si je ne m'abuse !
Je m'abuse ?
Merci !
La dimension de IR_{n-1}[X] est bien n..... base X^0, x^1, .... X^{n-1} : ça en fait bien n
le degré de Q -Q' est au maximum le degré commun à Q et Q'. or ils ont une racine de trop (si un polynôme de degré p a p+1 racines, c'est qu'il est nul ....)
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