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Polynome de degré n

Posté par Sangoku (invité) 02-10-05 à 15:54

Bonjour à tous .
Voila je bloque sur un petit exercice. Je vous expose mon problème tout en mettant mes reflexions .

Pour un entier naturel n2, on considère la fonction polynômiale définie par :
pn(x)=xn-nx+n-2

1) Montrer que l'équation pn(x)=0 d'inconnue x
[0,1] admet une unique solution que l'on note n.
=> ici j'ai calculé pn(0) et pn(1). J'ai trouvé n-2 pour la valeur en 0 et -1 pour la valeur en 1. Comme n-20, j'en ai déduit par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation pn(x)=0 admet une unique solution sur [0,1].

2)Quel est le signe de pn+1(n)? La suite (n) est-elle monotone?
=>ici j'ai calculé en premier lieu pn+1(n) et j'ai trouvé que c'était égal à nn+1-(n+1)n+n-1. La je n'arrive pas à trouver son signe. J'ai essayé de prendre les termes un par un pour pouvoir faire un tableau de signes mais je n'ai pas réussi.

3)A quelle condition naturelle sur >0 peut-on affirmer que pour tous les entiers n à partir d'un certain rang, 1-(/n)n1. Quelle est la limite de (n)?
=>ici je ne vois pas ce qu'il faut faire.

4)A quelle condition naturelle sur >0 peut-on affirmer qu'à partir d'un certain rang, n1-(/n)? On me donne comme indication qu'il peut etre utile d'étudier le signe de la fonction ->e-+-2.
=>la non plus je ne vois pas l'issue.

Voila j'espère que vous pourrez m'aider.
Bon dimanche à tous

Posté par darwyn (invité)re : Polynome de degré n 02-10-05 à 15:56

Pour le 1) il faut aussi montrer que la fonction est monotone sur [0,1], sinon, le théorème des valeurs intermédiaires te donne l'existence mais pas l'unicité.

Posté par darwyn (invité)re : Polynome de degré n 02-10-05 à 16:01

Après ça... Pour le 2) j'ai

P_{n+1}(a_n)=a_n^{n+1}-a_n+1 qui est clairement positif comme 0<a_n<1

Posté par darwyn (invité)re : Polynome de degré n 02-10-05 à 16:07

Donc la suite est clairement monotone et décroissante.
Pour le 3)
la condition c'est <-2
En fait,tu as <nn-n
Et tu utilise le fait que Pn(n)=0

Posté par Sangoku (invité)re : Polynome de degré n 02-10-05 à 21:18

re bonjour, pour la question 2 je n'arrive pas à retrouver votre résultat, y a-t-il une astuce?
merci beaucoup

Posté par Sangoku (invité)re : Polynome de degré n 02-10-05 à 21:26

de même pour la question 3 je trouve n-nn et je retombe à chaque fois sur ce résultat.Pouvez me donner une indication car je n'y arrive vraiment pas.
Merci d'avance à tous

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 03-10-05 à 14:09

Bonjour darwyn et Sangoku;
Attention darwyn ,le théorème des valeurs intermédiaires (appliqué ici à la fonction p_n continue sur [0,1] et vérifiant p_n(0)p_n(1)\le0 ) donne l'existence d'un réel \alpha_n\in[0,1] tel que p_n(\alpha_n)=0 mais ne permet pas de conclure sur l'unicité de ce réel:il te faut donc un argument supplémentaire pour établir l'unicité de \alpha_n.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 03-10-05 à 14:25

Unicité de \alpha_n:
En dérivant p_n on a que:
2$\fbox{\forall x\in[0,1]\\p'_n(x)=n(x^{n-1}-1)} et vu que n\ge2 que 2$\fbox{\forall x\in[0,1[\\p'_n(x)<0} ton polynome p_n est donc strictement décroissant sur [0,1] et ne peut donc s'annuler plus d'une fois.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 03-10-05 à 14:54

2)
(*)Signe de p_{n+1}(\alpha_n):
On peut écrire que
3$\fbox{p_{n+1}(\alpha_n)=p_{n+1}(\alpha_n)-p_n(\alpha_n)=(\alpha_n)^{n+1}-(n+1)\alpha_n+n+1-2-(\alpha_n)^{n}+n\alpha_n-n+2} ou encore que:
3$\fbox{p_{n+1}(\alpha_n)=(1-\alpha_n^{n})(1-\alpha_n)} et vu que 2$\fbox{\forall n\ge2\\\alpha_n\in[0,1[} on a que 3$\fbox{\forall n\ge2\\p_{n+1}(\alpha_n)>0}.
(*)Sens de variation de (\alpha_n)_n:
on a 2$\fbox{p_{n+1}(\alpha_n)>0=p_{n+1}(\alpha_{n+1})} et vu que p_{n+1} est strictement décroissant sur [0,1] on a nécéssairement que 3$\fbox{\forall n\ge2\\\alpha_n<\alpha_{n+1}} ce qui veut dire que la suite (\alpha_n)_n est strictement croissante.

Sauf erreurs...

Posté par Sangoku (invité)re : Polynome de degré n 03-10-05 à 18:47

merci de m'avoir éclairé sur ce point, je vais essayer de continuer

Posté par darwyn (invité)re : Polynome de degré n 03-10-05 à 21:04

C'est pas gentil de me gronder pour une erreur que je n'ai pas faite elhor_abdelali !
C'est ce que je disais dans mon premier message. Pour avoir l'unicité, il faut la monotonie de la fonction...

Posté par darwyn (invité)re : Polynome de degré n 03-10-05 à 21:06

oui oui je sais... la monotonie stricte, pardon

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 03-10-05 à 22:11

Pardon darwyn,mon message était plutot adressé à Sangoku.
Amicalement elhor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 04-10-05 à 10:50

Bonjour;
3)(*)Soit \betaun réel positif vu que 3$\fbox{\lim_{n\to\infty}1-\frac{\beta}{n}=1^-} on a la certitude qu'à partir d'un certain rang n_0 on a que 3$\fbox{1-\frac{\beta}{n}\in[0,1]}
et vu la décroissance des p_n sur [0,1],une condition nécéssaire est suffisante pour qu'on ait 3$\fbox{1-\frac{\beta}{n}\le\alpha_n} est que 3$\fbox{p_n(1-\frac{\beta}{n})\ge0}ie3$\fbox{(1-\frac{\beta}{n})^n-n(1-\frac{\beta}{n})+n-2\ge0}ie3$\fbox{(1-\frac{\beta}{n})^n+\beta-2\ge0} et on voit donc que si on choisit 3$\blue\fbox{\beta\ge2} on a à partir du rang n_0 que 3$\fbox{p_n(1-\frac{\beta}{n})\ge0} et donc que 3$\fbox{1-\frac{\beta}{n}\le\alpha_n}.
(*)vu que 3$\fbox{\forall n\ge2\\1-\frac{2}{n}\le\alpha_n\le1} on a par le théorème des gendarmes que 3$\blue\fbox{\lim_{n\to\infty}\alpha_n=1}.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par Sangoku (invité)re : Polynome de degré n 06-10-05 à 16:10

Bonjour et deja merci pour cette aide très précieuse .
J'ai trouvé les mêmes résultats que vous, par contre pour la question 4 je trouve que <2, en repartant du fait que n1-/n, donc que pn(n)p(1-/n).

De plus, pour une question un peu plus annexe, on me demande la limite de (n(1-n)). J'ai donc fait les calculs suivants :
1-/nn1 soit au final n(1-n)
et du fait que n1-/n soit au final n(1-n).
Je suis reparti des deux inégalités pour les conditions de . Est ce que je peux dire que la limite de (n(1-n)) est ?

Merci d'avance et bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 06-10-05 à 18:22

Bonjour;
4) Soit \beta>0.Pour que l'inégalité 2$\fbox{\alpha_n\le1-\frac{\beta}{n}} soit vraie à partir d'un certain rang n_0 il faut et il suffit que 3$\fbox{\forall n\ge n_0\\p_n(1-\frac{\beta}{n})\le0} ou encore 3$\fbox{\forall n\ge n_0\\(1-\frac{\beta}{n})^{n}+\beta-2\le0} et vu que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}(1-\frac{\beta}{n})^{n}=e^{-\beta}} on voit alors qu'une condition nécéssaire sur \beta est que 4$\fbox{e^{-\beta}+\beta-2\le0} d'où l'idée d'étudier le signe de la fonction x\to e^{-x}+x-2 sur [0,+\infty[.

Posté par Sangoku (invité)re : Polynome de degré n 06-10-05 à 19:47

Bonsoir, je vous remercie de m'aider.
Par contre je "lutte" un peu pour résoudre l'inéquation. Le fait est que j'ai le en dehors de l'exponentielle qui me dérange. J'ai essayé de passer en ln mais rien à y faire je cherche depuis tout à l heure. De plus est ce que l'idée de la dernière question est correcte?
Merci infiniment .
Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome de degré n 07-10-05 à 00:35

Bonsoir Sangoku;
je crois qu'il ne s'agit pas de résoudre l'équation 3$\fbox{e^{-x}+x-2=0} mais seulement de montrer qu'elle admet une racine unique 3$\fbox{\beta_0\in]1,2[} ce qui est facile à vérifier.
Posons alors 3$\fbox{f(x)=e^{-x}+x-2} et remarquons que f est strictement négative sur [0,\beta_0[ et strictement positive sur ]\beta_0,+\infty[.
Soit 3$\epsilon un réel tel que 3$\fbox{0<\epsilon<\beta_0} vu que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty} (1-\frac{\beta_0-\epsilon}{n})^{n}+\beta_0-\epsilon-2=f(\beta_0-\epsilon)<0\\\lim_{n\to+\infty} (1-\frac{\beta_0+\epsilon}{n})^{n}+\beta_0+\epsilon-2=f(\beta_0+\epsilon)>0} on a que 3$\fbox{(\exists n_0)(\forall n\ge n_0)\\\{{(1-\frac{\beta_0-\epsilon}{n})^{n}+\beta_0-\epsilon-2<0\\(1-\frac{\beta_0+\epsilon}{n})^{n}+\beta_0+\epsilon-2>0} c'est à dire que 3$\fbox{(\exists n_0)(\forall n\ge n_0)\\\{{p_n(1-\frac{\beta_0-\epsilon}{n})<0\\p_n(1-\frac{\beta_0+\epsilon}{n})>0} ce qui donne que 3$\fbox{(\exists n_0)(\forall n\ge n_0)\\1-\frac{\beta_0+\epsilon}{n}<\alpha_n<1-\frac{\beta_0-\epsilon}{n}} et donc que 3$\fbox{(\exists n_0)(\forall n\ge n_0)\\\beta_0-\epsilon<n(1-\alpha_n)<\beta_0+\epsilon}
c'est à dire que 4$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}n(1-\alpha_n)=\beta_0}

Sauf erreurs bien entendu


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