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Polynome de second degré

Posté par
atrax
05-02-19 à 10:00

Bonjour,
J'ai un exercice ou on me demande de résoudre le système d'équation suivant:

a ( x+y=5 ; xy=3)

Là j'avoue ne rien comprendre.
Si quelqu'un peut m'aider je suis preneur.

Posté par
malou Webmaster
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 10:11

tu peux tirer x de la première ligne
et tu le reportes dans la seconde
et tu vas obtenir une équation du second degré qui te donnera y

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 10:57

merci beaucoup:
donc:
a ( x+y=5 ; xy=3 )

donc:
y=5
et
x+xy=3
x+5x=3
x+5x-3=0

donc delta = b²-4(a)(c)
=25 -4(1)(-3)
delta = 37

x1=(- b²-√ delta) / 2a                          et x2= (- b²+√ delta) / 2a  
x1 =  -((5+√37) /2)                                                -5+√37/2

s= -((5+√37) /2)   ;  -5+√37/2 )

c'est le résultat que je trouve mais il semble qu'il soit faux et je ne comprend pas ou ni pourquoi
est il possible de m'aider?

Posté par
Pirho
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:06

Bonjour,

x+y=5

y n'est pas égal à 5

si tu suis la méthode préconisée par malou, que vaut x?

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:11

on me donne en corrigé:
x²-5x+3=0 admet pour racine (5-√13/2) et (5+√13/2)
les solutions du système donné sont deux couples symétriques:
{(5-√13/2) ; (5+√13/2)} et {(5+√13/2) ; (5-√13/2)}

Je ne comprend pas pourquoi ils obtiennent x²-5x+3 =0 et non pas x+5x-3=0
et ensuite je ne comprend pas comment on en déduit que ce sont deux couple symétrique.
Voila, un coup de math?

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:13

oups merci
y=5x
je croyais qu'il fallait laisser la fonction tel quel et mettre le déporter le x sous l'autre fonction.
Je refais mes calcules avec y = 5x

Posté par
Pirho
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:13

réponds un peu  à ma question

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:14

y= -5x....

Posté par
Pirho
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:16

Citation :
y=5x


x+y=5

ajoute -x dans les 2 membres, tu obtiens ?

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:30

x=-5Y?

Posté par
Pirho
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:33

non!

-x+x+y=5-x

que vaut y?

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:34

x+y=5
si j'ajoute -x au deux membres
x+y -x = 5-x
y= 5-x

c'est bien ca?

Posté par
Pirho
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:37

oups malou te disais de tirer x, donc dans ce cas x=5-y,OK?

remplace dans xy=3

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:51

ok merci beaucoup
donc
a ( x+y=5 ; xy=3 )

x+y -x = 5 -x
y= 5-x

donc
xy=3
x ( 5-x) = 3
5x - x² = 3
5x - x² -3 =0
-x² + 5x -3 = 0

delta = b²-4(a)(c)
delta = 5² - 4(-1)(-3)
delta = 25 - 12
delta = 13

x1 = (-b - √delta)/2a                                                         x2 =  (-b + √delta)/2a        
x1 = (-5 - √13) / -2                                                             x2 = (-5 +√13) / -2        
x1 = - ((5 +√13)/2)                                                            x2=  (-5 +√13) / 2

S= { - ((5 +√13)/2) ; (-5 +√13) / 2 }

ok pour ça mais je ne comprend pas que les solutions du système sont deux couple symétriques:

{(5-√13/2) ; (5+√13/2)}            et                     {(5+√13/2) ; (5-√13/2)}

Posté par
malou Webmaster
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 11:58

x1 et x2 sont les deux valeurs de x possibles (je n'ai pas vérifié les calculs, je ne parle que de la méthode)

1er cas
si x=x1
que vaut y1 ?
d'où le couple (x1;y1) solution

2e cas
si x=x2
que vaut y2 correspondant
d'où le couple (x2;y2) correspondant

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 12:19

Bonjour,
"je n'ai pas vérifié les calculs"

bein oui ils sont faux... (vers la fin)

x1 = (-5 - √13) / -2 oui
x1 = - ((5 +√13)/2) faux

x2 = (-5 +√13) / -2 oui
x2= (-5 +√13) / 2 faux

ceci dit outre le calcul explicite de y1 et y2 (entrainement absolument nécessaire vu les erreurs de calculs monstrueuses du début et par la suite) on a aussi la méthode suivante :
le système
x+y = 5
xy=3

est totalement équivalent à
y+x = 5
yx = 3

il est "symétrique en x et y"
en d'autres termes si (x1; y1) est solution (y1; x1) aussi , mais cette deuxième solution est (x2; y2)
et donc les valeurs de y1 et y2 sans aucun calcul effectif.

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 22:26

Merci de ton message Mathafou.
En effet je dois énormément m'exercer, j'en ai bien conscience et m'y atèle un peu quotidiennement.

Par contre j'ai un petit souci avec les résultats.
Instinctivement je me serais arrêté à
x1 = (-5 - √13) / -2         et       x2 = (-5 +√13) / -2

Mais mon bouquin de math me donne comme résultat:

l'équation de     t²- 5t + 3 = 0 admet pour racines 5 - √13 / 2  et  5 - √13 / 2
Les solutions du système donné sont les deux couples symétriques:
{(5-√13/2) ; (5+√13/2)}            et                     {(5+√13/2) ; (5-√13/2)}


Je ne comprend pas... je vais re-verifier.

Pour l'erreur de fin, voyant que mon résultat était différent de celui du bouquin j'ai fait le calcule  de (-5 - √13) / -2  sur ma calculette (fx-92+) mais j'ai oublié le - de -2 et donc divisé  par 2... erreur d'inattention grotesque.

Merci beaucoup pour le soutient.

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 22:46

Par contre je n'ai toujours pas compris que les solutions du système sont deux couple symétriques:

{(5-√13/2) ; (5+√13/2)}            et                     {(5+√13/2) ; (5-√13/2)}


-x² + 5x -3 représente une courbe en parabole.
Pour moi, x1 et x2 sont les deux points où la courbe coupe l'axe des abscisses                  -x² + 5x -3=0
Donc
s={(5-√13/2) ; (5+√13/2)}  suffirait pour moi.
Pourquoi le doubler en inversant les valeurs?

Posté par
lafol Moderateur
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 22:55

Bonsoir
tu as deux couples solutions possibles : soit x = x_1 et y = x_2, soit x = x_2 et y = x_1, en appelant x_1 et x_2 les solutions de l'équation t² - 5t + 3 = 0.

(équation qu'on peut trouver en disant que l'équation la plus simple dont x et y sont les solutions est (t-x)(t-y) = 0, alias en développant t²-(x+y)t + xy = 0, et ici on souhaite avoir x + y = 5 et xy = 3)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynome de second degré 05-02-19 à 23:04

on ne cherche pas à résoudre une seule et unique équation à une seule et unique inconnue x
mais un système de deux équations à deux inconnues x et y

donc une fois que tu as x, il faut calculer y
à partir d'une des équations du système dans laquelle tu "reportes" la valeur de x pour obtenir la valeur de y correspondante

donc reporter la valeur de x dans y = 5-x vu que c'est l'équation la plus simple qu'on a avec y dedans

une solution (une seule solution) c'est (x1; y1)
et une autre solution c'est (x2; y2)

donc l'ensemble des solutions du système c'est
{(x1; y1); (x2; y2)}

bien noter la différence entre accolades pour "ensemble de" et les parenthèses pour "paire de valeurs" (de deux variables différentes)
l'ensemble des solutions du système à deux inconnues est un ensemble de paires de valeurs

ne pas confondre avec ton imagination de parabole
l'équation -x² + 5x -3 = 0 n'est pas l'équation d'une parabole mais une équation du second degré à une inconnue x, point barre.

Posté par
atrax
re : Polynome de second degré 06-02-19 à 09:13

Merci. Je crois avoir compris.



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