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Polynome dendomorphisme
Bonjour
Soit f un endomorphisme d'un K-ev E de dimension finie. Soit P un polynome annulateur de f.
On suppose que P=QR où P et Q sont premiers entre eux.
Démontrer que Im(R(f)) =ker(Q(f)
J'ai pensé à la double inclusion mais ça ne sonne pas très bien pour la première inclusion
J'ai pris un y€im(R(f) ==>
x, y=R(f) (x)
En composant par Q, j'ai
Q(y) =Q(R(f))(x) et j'obtiens finalement Q(y)=0 ==>y€ kerQ(f).
Pour l'inclusion dans l'autre sens, j'ai un peu de mal
Soit
x€ker(Q(f)) ==>Q(f) (x) =0
En composant par R à droite, j'obtiens
QR(f) (x) =R(0) et je n'arrive pas à utiliser l'hypothèse selon laquelle P et Q premiers entre eux...
écris l'identité de Bezout sur les polynôme
applique là à un endomorphisme
puis à un élément de Ker(Q)
et tu verras
juste une remarque sur tes écritures
Q(R(f))(x) est incorrect
c'est Q(f) o R(f) (x)
bon alors ?
il existe deux polynômes A et B tels que
AQ + RB = 1
ensuite ...
salut
ben ensuite tu raisonnes de la même façon ...
soit x dans Ker Q(f) et tu évalues AQ + RB = 1 en x ...
Bon voilà j'expose mon travail
On a
P=QR, P/QR, P, Q premiers entre eux d'après,Gauss P/R=> R=PA. (1)
D'autre part puisque pgcd(P, Q) =1, d'après l'égalité de Bezout
PA+QB=1. (2)
(1)+(2)=>R+QB=1
c'est à dire
R(f) (x) +Q(f) (x) O B(f) (x) =x
Soit
x€KerQ(f) =>Q(f) (x) =0
C'est à dire R(f) (x) =x
Par conséquent
x€Im(R) (f)
Voici ce que j'ai fait
rien compris ... que vient faire Gauss ici ?
P = QR P/QR .... ben ouis puisque P divise P !!! et la suite est du grand n'importe quoi
P = x^3(x + 2 ) divise P ... et tu crois que P divise x^3 ?
salut
ben ensuite tu raisonnes de la même façon ...
soit x dans Ker Q(f) et tu évalues AQ + RB = 1 en x ...
bon alors ?
il existe deux polynômes A et B tels que
AQ + RB = 1
ensuite ...
revois l'énoncé car Q divise P, alors à moins que Q soit un polynôme constant (quel intérêt ?) P et Q ne sont pas pas premiers entre eux !
Ah OK je comprends, puisque P et Q sont premiers entre eux, QR et Q sont également premiers entre eux en appliquant Bezout on a l'égalité c'est bien cela ?
Bonjour, processus.
Il y a évidemment une erreur dans l'énoncé que tu as donné (le 19 octobre à 10h28).
Ce ne sont pas P et Q qui sont premiers entre eux, ce sont Q et R qui sont premiers entre eux ...
ha ben j'ai même pas tilté : j'ai évidemment "lu" le bon énoncé de perroquet dès le départ !!! et même pas tilté non plus au msg de matheuxmatou à 19h57
ben moi aussi j'avais directement lu Q et R ... l'autre était impossible !
c'est pénible ce temps qu'on perd avant d'avoir un énoncé correct ! 
Si seulement je pouvais vous envoyer la photo de cet exercice ou vous faire un scan vous verrez que je n'y suis pour rien, c'est exactement comme ça que c'est écrit dans l'énoncé 
cela arrive qu'il ya ait des "fautes de frappes" dans les énoncés
mais ici Q et P ne peuvent pas être premiers entre eux ...!:
donc prenons l'énoncé en le rectifiant : Q et R premiers entre eux.
bon alors ?
il existe deux polynômes A et B tels que
AQ + RB = 1
ensuite ...
donc ensuite tu appliques aux polynômes d'endomorphisme :
A(f)oQ(f) + R(f)oB(f) = Id
et tu prends x
Ker(Q(f)) ... je t'ai mâché le boulot là ! 
La c'est plus claire je l'avais cette idée mais c'est le fait que Q et R soient premiers entre eux qui me dérangeait un tout petit...
Donc x€ker(Q(f)) =>Q(f) (x) =0
En remplaçant dans l'égalité de Bezout on a
R(f) (x) 0 B(f) (x) =x c'est à dire x€Im(R(f) (x) 0B(f)(x)) en particulier x€Im(R(f) (x))
Bonsoir,
Une petite question pour ma culture personnelle :
La dimension finie de l'espace vectoriel E évoquée dans l'énoncé a-t-elle de l'importance ?
Merci carpediem pour la réponse rapide
Mes souvenirs sur les polynômes d'endomorphismes étaient inexistants.
Je me demandais si certaines de leurs propriétés ne faisait pas intervenir la dimension.
C'est vrai que je n'ai rien trouvé l'évoquant dans les sites que j'ai consultés.
il n'est pas dit que la dimension n'intervienne pas ... en rapport avec le degré de P (voir par exemple le polynome caractéristique) mais ici on en s'en sert pas ...
la dimension finie apporte de toute façon une contrainte supplémentaire qui peut donc apporter des informations ou des contraintes sur des polynomes d'un endomorphisme
regarder par exemple les endomorphismes nilpotents ...
Bonjour, Sylvieg.
Voici une idée de solution utilisant l'idée de dimension finie.
Le théorème de décomposition des noyaux et le théorème du rang montrent que et
sont de même dimension.
Pour montrer que , il suffit de montrer que
. Et cette inclusion est démontrée par processus dès le premier post.
Merci perroquet pour ta réponse
Avec l'utilisation de ce théorème, une autre hypothèse qui devient inutile :
Les polynômes premiers entre eux
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