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Polynome et application

Posté par Mayo (invité) 25-09-05 à 20:39

Salut voilà j'ai un exo à faire mais je bloque sur une question:
Soit a sup ou egal a 0. Pour tout x dans R, Pa(x)=x^3+ax-1
1. On a montré que ce polynoeme admettait une unique racine u(a)
Puis on note u : a->u(a)
on montre u(R+) inclus dans R+*, puis u strctement decroissante sur R+. On calcule u(0)=1 et lim u(a) = 0 quand a->+oo
On nous demande et c'est ce qui pose pb:
Determiner l'application réciproque de u
Montrer u continue sur R+, dérivable sur R+*
Montrer u dérivable en 0 à droite.
calcule pour tout a dans R+*, u'(a) et la valeur de la dérivée a droite en 0.
J'essaye mais je ne trouve pas.
Si vous avez une idée
Merci par avance

Posté par Mayo (invité)re : Polynome et application 25-09-05 à 21:41

personne ici ne se sent d'attaque ?

Posté par Mayo (invité)re : Polynome et application 25-09-05 à 22:07

Même elhor?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome et application 25-09-05 à 23:37

Bonsoir;
(*)tu vois bien que u(a)(u^2(a)+a)=1 donc
u(a)>0 pour a>0 et comme u(0)=1 on peut affirmer que \fbox{\forall a\ge0\\u(a)>0}
d'autre part on a pour tout a>0 u^3(a)=1-au(a)<1
donc 3$\fbox{u({\mathbb{R}}^+)\subset]0,1]}
soit y>x>0 on a u^3(y)-u^3(x)=xu(x)-yu(*)(y)<xu(x)-xu(y)=x(u(x)-u(y))
donc nécéssairement u(x)-u(y)>0 (le contraire conduirait à une absurdité)
donc u est strictement décroissante.
(*)ona 1-au(a)>0 donc pour tout a>0 ona 0<u(a)<\frac{1}{a} et donc \lim_{a\to+\infty}u(a)=0
(*)on a pour tout a\ge0 1-u^3(a)=au(a) et donc que \fbox{\frac{1}{u(a)}-u^2(a)=a}
considérons alors l'application \fbox{\{{0<x\le1\\{x\to f(x)=\frac{1}{x}-x^2} une petite étude de f montre que c'est une bijection de ]0,1] dans [0,+\infty[ et comme ona pout tout a\in[0,+\infty[ f(u(a))=a on voit bien que 2$\fbox{f=u^{-1}}
(*)la continuité et la dérivabilté de u sur [0,+\infty[ s'hérite de celles de f sur ]0,1] (puisque f est continue dérivable sur ]0,1] et f' ne s'annule pas sur ]0,1])
(*)on sait que pour tout a\in[0,+\infty[
3$\fbox{u'(a)=\frac{1}{f'(u(a))}}
et comme f'(x)=-\frac{1}{x^2}-2x on a que:
u'(a)=-\frac{u^2(a)}{2u^3(a)+1} pour a=0 on voit que \fbox{u'_{d}(0)=-\frac{1}{3}}
Sauf erreurs

Posté par biondo (invité)re : Polynome et application 25-09-05 à 23:39

Salut!

Ce n'est pas que je me sente vraiement d'attque, mais bon..

Application reciproque:

rien de bien sorcier. u(a) est l'unique solution reelle de x^3+ax-1.
Soit y dans R+*, comment trouver a tel que a soit l'antecedent de y par u?
ben... y^3+ay-1 = 0.

Donc a = (1-y^3)/y

et voila.


Continuite de u

on a determine u-1, reciproque de u. u-1 est continue (de ... sur...). Elle doit etre decroissante si je ne deviens pas gateux. Il doit alors trainer des theoremes dans ton cours sur la continuite de l'application reciproque, a savoir u...


Derivabilite de u
Toujours avec l'application reciproque: un theoreme de cours doit affirmer que f est derivable. On a meme une jolie formule que je te laisse retrouver, qui te donnera u'(a) pour tout a.


Derivabilite en 0 a droite
bof. Il est tard...


A+
biondo

Posté par biondo (invité)re : Polynome et application 25-09-05 à 23:42

Arg. trop tard.

Posté par Mayo (invité)re : Polynome et application 26-09-05 à 13:28

re, correction différée
Bon je comprend a peu pres tout, sauf la façon dont tu justifies que tu puisses fermer les intervalles de continuité et derivabilité en 0.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome et application 26-09-05 à 14:13

Bonjour Mayo;
(*)Dire que f est continue (respectivement dérivable) sur [a,b](a<b) signifie par définition que:
f est continue (respectivement dérivable) sur ]a,b[,à droite de a et à gauche de b.
(*)Si f:I\to J est une bijection continue alors f^{-1}:J\to I est continue.
(*)Si f:I\to J est une bijection dérivable telle que f' ne s'annule pas sur I alors f^{-1}:J\to I est dérivable.

Posté par Mayo (invité)re : Polynome et application 26-09-05 à 22:47

Justement f est continue sur ]0,1] => u continue sur ]0,+oo[
Comment dès lors justifier que f / u continue en 0?

Posté par Mayo (invité)re : Polynome et application 26-09-05 à 22:47

Justement f est continue sur ]0,1] => u continue sur ]0,+oo[
Comment dès lors justifier que f / u continue en 0?

Posté par Mayo (invité)re : Polynome et application 27-09-05 à 13:40

svp j'aimerai comprendre

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome et application 27-09-05 à 14:38

Bonjour Mayo;
(*)f est continue sur ]0,1] donc u=f^{-1} est continue sur f(]0,1])=[0,+\infty[.
(*)f est dérivable sur ]0,1] et f' ne s'annule pas sur ]0,1] donc u=f^{-1} est dérivable sur f(]0,1])=[0,+\infty[.


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