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polynôme et nombre complexe

Posté par Minouche87 (invité) 19-03-06 à 17:56

bonjour à tous, pourriez-vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plait ?
merci beaucoup d'avance

on consière le polynôme P de la variable complexe z défini par :
P(z)=z^4+2rac(3)z^3+8z²+2rac(3)z+7
a) déterminer les réels b tels que ib soit solution de l'équation P(z)=0
b) déterminer le polynôme Q du second degré tel que P(z)=(z²+1)Q(z)
c) résoudre dans C l'équation P(z) = 0

merci encore,
Minouche87

Posté par
Nofutur2re : polynôme et nombre complexe 19-03-06 à 18:07

Remplace z par ib.. dans P(z)=0 et résouds.

Posté par
Youpire : polynôme et nombre complexe 19-03-06 à 18:14

Bonjour

a) 3$ P(z)=z^4+2\sqrt3z^3+8z^2+2\sqrt3z+7

si z=ib est solution alors: b^4-i2\sqrt3b^3-8b^2+i2\sqrt3b+7=0

un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles:

3$ \fbox{b^4-8b^2+7=0 \\ et \\ -2\sqrt3b^3+2\sqrt3b=0}  3$ \Longleftrightarrow \fbox{b^4-8b^2+7=0 \\ et \\ (b^2-1)b=0

donc \fbox{b=-1} ou \fbox{b=1}

Posté par
Youpire : polynôme et nombre complexe 19-03-06 à 18:15

je rectifie la 3ème ligne:

si z=ib est solution alors: 3$ b^4-i2\sqrt3b^3-8b^2+i2\sqrt3b+7=0


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