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polynôme et relation de récurrence

Posté par
Alexique 30-04-12 à 22:39

Bonjour,

dans la recherche d'un exercice, je suis amené à trouver l'ensemble des polynômes qui vérifient cette relation de récurrence : P_{n+2}=XP_{n+1}-P_{n} avec n entier naturel. On a aussi P_0=2  et  P_1=X mais les conditions initiales importent peu. Je ne suis pas du tout familier avec ce type de relation de récurrence. Y'a-t-il un moyen de trouver une formule explicite de P_n pour tout n ?

J'ai tenté de dériver (jusqu'à la seconde), de substituer...Je me perds dans les calculs, pas moyen de trouver une relation avec un même indice ou un même ordre de dérivation...

Si vous aviez une méthode plus générale à me proposer pour de tels problèmes (pas spécifique à cette relation de récurrence mais du même genre), je serais preneur également...

Merci beaucoup !

Posté par
freniclere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 10:17

Bonjour,

Si tu imites la résolution des suites récurrentes (numériques) d'ordre 2, tu obtiens P_n comme combinaison linéaire de

u^n=\frac{1}{2^n}(X+\sqrt{X^2-4})^n et

v^n=\frac{1}{2^n}(X-\sqrt{X^2-4})^n

Avec les conditions initiales, on obtient

P_n(X)=u^n+v^n=\frac{1}{2^n}(X+\sqrt{X^2-4})^n+\frac{1}{2^n}(X-\sqrt{X^2-4})^n=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}X^{n-2k}(X^2-4)^k

Posté par
Alexiquere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 12:33

heu vous pourriez détailler à peine plus...
C'est justement ce X dans la relation de récurrence qui ne permet pas d'imiter la résolution des suites récurrentes...
Que sont u et v ?

Posté par
freniclere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 14:27

u=\frac{1}{2}(X+\sqrt{X^2-4}) et v=\frac{1}{2}(X-\sqrt{X^2-4})


Le calcul est un peu formel, c'est vrai, mais si on considère les P_n comme des fonctions polynomiales, la récurrence doit être vérifiée pour toutes les valeurs de la variable.
Les formules que j'ai données sont donc valables pour tout X réel, et donc celle qui ne contient pas de racines est aussi valable pour l'indéterminée X.

Posté par
Alexiquere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 14:33

oui mais elles sortent d'où ces formules ? Quelle est la méthode ? Comment on fait ?
(peut-être que ce n'est pas au programme de sup...)

Posté par
freniclere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 14:45

Regarde le paragraphe V-2 ici   Suites numériques

Posté par
Alexiquere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 15:04

donc en fait on peut considérer l'indéterminée X comme une constante (par rapport à la suite (P_n)_{n \in \N} ). Du coup le polynôme caractéristique de cette relation de récurrence est P(Y)=Y^2-XY+1 de discriminant \Delta=X^2-4...
D'accord ! En fait, je connaissais bien le cours, c'est juste que ce X était troublant (pas l'habitude...).
Merci bien ! Et merci de traiter deux de mes sujets à la fois...

Posté par
freniclere : polynôme et relation de récurrence 01-05-12 à 16:09


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