Salut,
il te suffit de noter que degré de P est égal à n et ensuite tu as une relation du type
(k-n)a(k)+(k+1)a(k+1)=0 pour tout k<n
il te suffit d'écrire les formules en regroupant selon les puissances de X.

euh je ne comprend pas bien ton raisonnement, pourrait tu etre un peu plus precis(e) stp?

Tu ne vois pas ça de manière trop compliquée? Je ferais ça tout autrement:


En intégrant des deux côtés
avec k une constante

avec c une constante.

Ta méthode marche aussi très certainement et tu peux utiliser le fait que le degré de P est n, mais ceci me paraît long et fastidieux.

Isis

Je me permets de proposer une autre méthode qui ne fait pas intervenir les équations différentielles.




Le polynôme X+1 divise P
Donc -1 est racine de P.

Soit la multiplicité de -1.
avec



donc

En prenant la valeur en -1 on obtient                  (car )

donc

Salut,
moi j'ai juste voulu répondre à sa question qui était est ce qu'il y a un lien entre les coefficients.
La méthode de Franz est tout à fait correct, celle d'isisstruiss même si elle est souvent utilisé notamment en physique pour résoudre les équa diff, permet d'avoir une idée de la solution en effet, mais n'est à priori pas correcte mathématiquement car l'on divise par P(x) qui peut très bien s'annuler d'ailleurs il s'annule en (-1).
Ainsi en la valeur -1 ta formule n'a aucun sens.

Certes, mais dans le cas x=-1 la question devient ce qui implique que n=0 ou P(-1)=0. Ceci n'est pas constraignant, bien au contraire, celà indique que -1 est une racine du polynôme P(x).

Isis

merci a tous en tout cas

Re bonjour a tous, je voudrais demander quelques précisions sur la méthode que propose Franz qui est celle que je vais adopter (ceci dit merci beaucoup a tous les autres pour vos details et autres propositions). A savoir a-t-on reelement le droit de prendre un polynome Q tel que Q(-1) est non nul, n'est ce pas un cas particulier? De plus lorsque tu parviens a l'égalité :
(X+1)P'-nP=(X+1)^*[(-n)Q+(X+1)Q']=0
dont je conviens tout a fait, tu affirmes que c'est la deuxieme partie du produit qui est nulle, ce qui veut dire que pr cela tu as exclu le cas X=-1 mais des la ligne suivante tu prends la valeur -1 pour obtenir =n, c'est ce que je ne comprend pas...

En aucun cas je ne remet en doute ton raisonnement mais je voulais juste avoir ces quelques precisions...Merci beaucoup

Salut,
En fait il n'est pas du tout restrictif de prendre Q(-1) non nul, en fait tu sais que (X+1) divise ton polynome P, car -1 est racine de P.
P étant un polynôme il est de degré fini, et en fait tu prends k l'entier le plus grand tel que divise P, un tel entier existe, c'est assez facile à voir.
Alors si tu prends , qui est un polynôme car divise P, il ne s'annule pas en -1, sinon Q serait divisible par X+1 et donc diviserait alors Pce qui est absurde par hypothèse de maximalité de k.
Pour ce qui est du fait que c'est la deuxième partie du produit qui est nul, en fait on a un polynôme qui est le produit de 2 polynôme.
En effet (X+1)P'-nP est le produit de et du polynôme mais (X+1)P'-nP est égal au polynôme nul, Or si l'on considère l'ensemble des polynomes de R, c'est un anneau intègre donc si le produit de 2 polynomes est le polynome nul c'est que l'un des deux polynome est le polynome nul.
Or n'est pas le polynome nul, c'est donc l'autre qui est le polynôme constamment nul.