Salut !


et bien P(x)=a*x, et le seul exemple simple ^^

enfait, c'est vrai pour tous polynome de degré >0, mais la démonstration n'est pas si évidente.

que cherche tu exactement ?

"que cherche tu exactement ?"
dans l'absolu , à le démontrer; mais c'était un exo un peu difficile, et je voulais juste "voir" avec un exemple.

Mais je ne comprends pas votre exemple:
avec P(x)=ax :
4P(f)(x)=0 quand x-> infini} donne a.f'(x)=0
en quoi est ce que cela implique que f(x)->0 (seule la dérivée s'annule , non ?) ?

vous pourriez m'expliquer comment marche cet exemple ?

P(x)=ax :
4P(f)(x)=0 quand x-> infini} donne a.f'(x)=0
en quoi est ce que cela implique que f(x)->0 (seule la dérivée s'annule , non ?) ?

merci

euh escuse moi, c'est plutot p=a qui marche ^^


enfait, c'est vrai si et seulement si p(0) est non nul.

cela ce prouve par récurence sur le degrée du polynome (il faut prendre des polynomes a coeficient dans C).

le passage clé de la démonstration, c'est le cas ou le degré du polynome est 1. et j'avoue ne plus trop me rapeller comment on fait. mais une fois que tu aura fait ca, la suite n'est pas tres compliqué ^^

enfait, c'est vrai pour un polynome dont toute les racines sont de parti réel strictement négative.


p(x)=a*x+a*b, avec a et b non nul, la racine c'est -b, donc on a Re(b)>0

on a donc g=f'+b*f->0


or (f*exp(bx))'=(f'+bf)*exp(bx)=g*exp(bx).

donc f=exp(-bx)*integral de (g(x)*exp(bx))

g(x)=o(1), donc g(x)*exp(bx) =o(exp(bx))

donc par comparaison d'intégral divergente (Re(b)>0, donc exp(bx) diverge) , intégral de g(x)*exp(bx) = o(intégral de exp(bx) ) =o(exp(bx))

donc exp(-bx)*integral de (g(x)*exp(bx)) =o(1)

f(x)->0, d'ou le résultat...

reste la récurence !


on suppose que le résultat est vrai pour tous polynome de degré n.

soit P un polynome de degré n+1, dont les racines sont a parti réel strictement négative.

(on suppose P unitaire, ca coute rien...)


P=Q*(x-a1)

ou Q est un polynome de degré n (dont les racines sont a parti réel négative)

on suppose que P(D)(f) ->0.

donc Q(D)(f'-a1*f) -> 0

donc par récurence f'-a1*f->0

et donc, d'apres le résultat précedent, f->0.

d'ou le résultat !!

OK, merci Ksilver