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Niveau Reprise d'études-Ter
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polynômes

Posté par
fanfan56 09-11-12 à 16:15

bonjour à tous,

J'ai 56 ans et je me remets dans les maths et je suis un peu perdue, merci de votre aide.

soit le polynôme  Q(x)= 9x²+12x-12
Déterminez les réels a,b et c tels que 9x² +12 x = (ax+b)² +c.
en déduire une factorisation de Q(x)

j'ai juste trouvé: 3x(3x +4) et je ne sais pas si c'est bon.

Posté par
lolo60re : polynômes 09-11-12 à 21:38

Bonsoir

(ax+b)² +c = ax²+abx+b²+c

par identification avec 9x²+12x-12,

a = 9

ab = 12

b²+c = -12

je vous laisse en déduire a b et c

Citation :
en déduire une factorisation de Q(x)


(ax+b)²+c , selon la valeur de c, devrait selon moi se factoriser en utilisant l'identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b)

Posté par
fanfan56polynômes 09-11-12 à 21:51

bonsoir Lolo60

merci pour votre réponse, mais je crois avoir trouvé,"à force de chercher",et si je n'ai pas fait d'erreur.
((3x)²+2*3x*2+2²)+c
(9x)²+12x +4)+c
9x² +12x+4-16
9x²+12x+4-4²
(3x+2)²-4²
(3x+2-4)(3x+2+4)
(3x-2)(3x+6)

pour vérifier: 9x²+18x-6x-12 =9x²+12x-12

c'est bien ça?

Posté par
lolo60re : polynômes 09-11-12 à 22:11

je me rends compte que j'avais fait deux erreurs (oubli de mettre a au carré et de multiplier ab par 2) (C'est ca aussi de travailler directement sur écran et non sur papier)

comparons avec la suite de mon post

(ax+b)² +c = a²x²+2abx+b²+c

par identification avec 9x²+12x-12,

a² = 9 donc a = 3

2ab = 12 donc ab = 6 => b = 6/a = 2

b²+c = -12

c = -12-2² => -12-4 = -16

donc:

9x²+12x-12 = (3x+2)²-16

Factorisation:

9x²+12x-12 = (3x+2)²-16 = (3x+2)²-4² = (3x+2-4)(3x+2+4) = (3x-2)(3x+6)

vérification:
(3x-2)(3x+6) = 9x²+18x-6x-12 = 9x²+12x-12

Posté par
fanfan56re : polynômes 09-11-12 à 23:09

merci Lolo60

je vois que je ne m'en suis pas trop mal sortie


cordialement

Posté par
lolo60re : polynômes 09-11-12 à 23:14

Citation :
je vois que je ne m'en suis pas trop mal sortie


en effet


Cordialement

Posté par
fanfan56re : polynômes 10-11-12 à 09:22

bonjour

autre chose

soit le polynôme P(x) =(x²-4)²-(x+2)²
Développer
j'ai trouvé x4-9x²-4x+12

factorisation

P(x)= [(x²-4)²-(x+2)²][(x²-4)²+(x+2)]
P(x)= (x²-4-x-2)(x²-4+4+2)
P(x)= (x-6)(x3-2)

je ne suis pas sûre de ce résultat, en vérifiant je ne retrouve pas le résultat du développement mais x4-2x-6x3+12
j'ai dû me tromper quelque part

merci de me dire si c'est bon

Posté par
lolo60re : polynômes 10-11-12 à 09:25

P(x) =(x²-4)²-(x+2)² \\ \\ P(x) = x^4-8x²+16-(x²+4x+4) \\ \\ P(x) = x^4-8x²+16-x²-4x-4 \\ \\ P(x) = x^4-9x²-4x+12

Posté par
lolo60re : polynômes 10-11-12 à 09:29

Factorisation
\\ P(x) =(x²-4)²-(x+2)² \\ \\ P(x) = [(x²-4)-(x+2)][(x²-4)+(x+2)] \\ \\ P(x) = [x²-4-x-2][x²-4+x+2] \\ \\ P(x) = (x²-x-6)(x²+x-2)

Posté par
fanfan56re : polynômes 10-11-12 à 14:42

merci Lolo 60,

j'avais bien compris seulement j'avais fait des erreurs d'étourderie, merci de votre aide.

cordialement

Posté par
lolo60re : polynômes 10-11-12 à 17:56

Je vous en prie  fanfan56

Posté par
fanfan56factoriser 10-11-12 à 23:41

bonsoir,

5x²-2*5x-3

j'ai fait ceci mais je ne suis pas sûre
(5x)²-2*5*x-3²
=(5x-5)²

à moins que ce soit ceci:avec (ax+b)² +c

5x²-2*5x-3
(5x)²-2*5x*1+1²)-c
(5x-1)²-c
(5x-1-2)(5x-1-2)
(5x-3)(5x-3)

je m'embrouille toujours avec les

merci et bonne nuit

Posté par
lolo60re : polynômes 11-11-12 à 14:46

Bonjour fanfan56

faut il factoriser 5x²-2*5x-3 ?

Posté par
fanfan56re : polynômes 11-11-12 à 15:12

bonjour Lolo60

oui c'est bien la factorisation qu'il faut trouver

cordialement

Posté par
lolo60re : polynômes 11-11-12 à 15:16

le x appartient à la racine ou uniquement le 5 ?

Posté par
fanfan56jj 11-11-12 à 16:56

c'est écrit ainsi:

5x² -2 * racinecarrée5x -3

il faut s'inspirer des exercices précédents:

soient les polynômes (x)= 4x²+12x+8 et Q(x)= 9x²+12x-12
a) Vérifier que 4x²+12x=(2x+3)²-9.En déduire une factorisation de P(x).
b) Déterminer les réels a,b,et c ... que j'ai fait avec votre aide

merci

Posté par
lolo60re : polynômes 11-11-12 à 17:00

en fait je me demande si racine carré 5x signifie \sqrt{5}x ou \sqrt{5x} ?

Posté par
fanfan56re : polynômes 11-11-12 à 17:43

ah d'accord ! c'est le premier le "x" n'est pas sous la racine

Posté par
lolo60re : polynômes 11-11-12 à 17:49

pour la 1/

5x²-2*x\sqrt{5} est le début d'une identité remarquable  qui est (x\sqrt{5}-1)²

car (x\sqrt{5}-1)² devient si on développe (x\sqrt{5})²-2*x\sqrt{5} +1

donc 5x²-2*x\sqrt5-3 = (x\sqrt{5}-1)²-1-3 = (x\sqrt{5}-1)²-4 qui est une identité du type a²-b² qui peut se factoriser en (a-b)(a+b)

sauf erreur

Posté par
fanfan56re : polynômes 11-11-12 à 18:31

oh! merci beaucoup, je vois que j'étais sur la bonne voie, mais j'avais besoin d'aide ,je m'emmêlais les crayons.

cordialement

Posté par
lolo60re : polynômes 11-11-12 à 18:31

je vous en prie

Posté par
fanfan56suite exercice 12-11-12 à 08:18

bonjour,

avant de poursuivre mon exercice, j'aimerai savoir si c'est juste.

soient les polynômes P(x)= (x+3)²-1  et Q(x)= (x-3)(x+4)+3x+16
1° factoriser P(x) J'ai trouvé (x+2)(x+4)
2° Développer puis factoriser G(x),  j'ai trouvé x²+4x+4 pour le développement
(x+2)² pour la factorisation
3° Soit la fraction rationnelle F(x)=P(x)/Q(x)
F(x)= (x+2)(x+4)/(x+2)²
simplifier F(x) = (x+4)/(x+2)

est-ce juste?

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 11:22

bonjour

1/ oui

2/ oui pour le développement et pour la factorisation

3/ oui

Posté par
fanfan56re : polynômes 12-11-12 à 15:46

merci beaucoup,
maintenant il me reste 3 fractions rationnelles à faire

cordialement

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 21:37

je reste à votre disposition

Posté par
fanfan56re : polynômes 12-11-12 à 21:54

bonsoir,

par rapport à ce que j'ai écrit ce matin, il faut faire le N°4, j'ai beau me creuser la cervelle, je n'y arrive pas , même mon fils n'a pas su m'aider.



1°  P(x)= (x+2)(x+4)
2° Q(x)=(x+2)²



4° calculer et simplifier si possible, en utilisant les formes factorisées, les expressions suivantes:
1/P(x) - 1/ Q(x)
c'est bien 1/(x+2)(x+4)  - 1/ (x+2)²   pour mettre au même dénominateur, est-ce (x+2)?
Je ne comprends pas , pouvez-vous m'expliquer en détail?
merci d'avance

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 21:55

bonsoir

est ce:

\dfrac{P(x)-1}{Q(x)}

ou

\\ P(x)-\dfrac{1}{Q(x)}

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 21:57

pardon, c'est bien 1/P(x) - 1/ Q(x)

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 21:58

je regarde

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 22:03

le dénominateur de P(x) est (x+2)(x+4)

le dénominateur de Q(x) est (x+2)² soit (x+2)(x+2)

le dénominateur commun est (x+2)(x+2)(x+4) soit (x+2)²(x+4)

apres mise sous dénominateur commun, je trouve lé numérateur égal à -2

Posté par
fanfan56re : polynômes 12-11-12 à 23:01



    1                1
___________     _ ________    =  1(x+2)²(x+4)  _   1(x+4)(x+2)²                
( x+2)(x+4)       ( x+2)²        ______________________________    =        

                                 (x+2)²(x+4)       (x+2)²(x+4)
                                                                            

                    je ne vois pas comment faire ??

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 23:08

\dfrac{1}{(x+2)(x+4)} - \dfrac{1}{(x+2)²}

\dfrac{1}{(x+2)(x+4)} - \dfrac{1}{(x+2)(x+2)}

\dfrac{(x+2)}{(x+2)(x+4)(x+2)} - \dfrac{(x+4)}{(x+2)(x+2)(x+4)}

\dfrac{(x+2)-(x+4)}{(x+2)²(x+4)}

\dfrac{x+2-x-4}{(x+2)²(x+4)}

\dfrac{-2}{(x+2)²(x+4)}

Posté par
fanfan56re : polynômes 12-11-12 à 23:12

merci

c'est vraiment trop gentil de votre part, je vais essayer de faire les 2 autres demain, une X et une /
J'espère y arriver.

bonne soirée

Posté par
lolo60re : polynômes 12-11-12 à 23:13

bonne soirée fanfan56

Posté par
fanfan56re : polynômes 12-11-12 à 23:34

pour bien comprendre

à la 3e ligne : (x+2)/ (x+2)(x+4)(x+2) - (x+4)/(x+2)(x+2)(x+4) j'ajoute la même chose en bas et en haut, mais que devient le "1" ?
à la 4e ligne:

(x+2)-(x+4)
____________  je conserve un seul des 2 bas
(x+2)²(x+4)}

pour le reste j'ai bien compris

je ne sais pas si j'ai été bien claire dans mes explications.

en tout cas merci encore.

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 09:16

Bonjour fanfan56

\dfrac{1}{(x+2)(x+4)} - \dfrac{1}{(x+2)²} (il s'agit de l'expression de départ)

\dfrac{1}{(x+2)(x+4)} - \dfrac{1}{(x+2)(x+2)} (je décompose (x+2)² en un produit de facteur: (x+2)(x+2)

je compare les dénominateurs des deux fractions:

d'un coté j'ai (x+2)(x+4), de l'autre (x+2)(x+2)

je vois que le terme (x+2) est commun aux deux. Je n'ai donc pas à le faire apparaitre de part et d'autre. Par contre j'ai un terme supplémentaire qui n'est pas commun: (x+4) et (x+2). Je fait donc apparaitre le (x+2) supplémentaire sous la fraction de gauche en multipliant le dénominateur et obligatoirement le numérateur par (x+2) et je fais apparaitre le (x+4) supplémentaire sous la fraction de droite en multipliant le dénominateur et également le numérateur par (x+4).

Le dénominateur commun devient donc (x+2)(x+2)(x+4)


j'obtiens pour la première fraction:

\dfrac{1*(x+2)}{(x+2)(x+4)(x+2)}

le dénominateur de la fraction de droite est (x+2)(x+2), afin de faire apparaitre (x+2)(x+2)(x+4), je multiplie (x+2)(x+2) par (x+4). Ayant multiplié le dénominateur par (x+4), je dois également multiplié le numérateur par (x+4).

j'obtiens pour la seconde fraction

\dfrac{1*(x+4)}{(x+2)(x+2)(x+4)}

j'ai donc une différence de fraction ayant un dénominateur commun: (x+2)(x+2)(x+4) qui peut s'écrire (x+2)²(x+4)


\dfrac{(x+2)}{(x+2)(x+4)(x+2)} - \dfrac{(x+4)}{(x+2)(x+2)(x+4)}

\dfrac{(x+2)-(x+4)}{(x+2)²(x+4)}

\dfrac{x+2-x-4}{(x+2)²(x+4)}

\dfrac{-2}{(x+2)²(x+4)}

Posté par
fanfan56re : polynômes 13-11-12 à 10:31

Bonjour Lolo60


Merci beaucoup pour ces explications très détaillées qui m'ont aidé à bien comprendre. Sur mes cours, les exemples ne sont pas aussi détaillés et je suis obligée pour ma compréhension personnelle de noter les étapes intermédiaires, "quand j'y arrive par moi-même",

Après si longtemps , pas facile de se remettre aux maths,finalement, je m'aperçois que ce n'est pas si difficile lorsque c'est bien compris.

Je vais essayer de faire mes 2 autres fractions.

bonne journée

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 10:38

Bonne journée fanfan56

Posté par
fanfan56re : polynômes 13-11-12 à 19:54

bonsoir,


je n'arrive toujours pas avec ces fractions, j'essaie pourtant mais rien n'est concluant.

(x+2)(x+4)*(x+2)²/x+4      et 26/(x+2)(x+4)divisé par 2/3(X+2)²

pouvez-vous me donner juste le résultat? je pourrai ainsi essayer  de trouver le moyen d'y arriver.

merci

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 20:55

(x+2)(x+4)*(x+2)²/x+4

s'il s'agit de :

(x+2)(x+4)*\dfrac{(x+2)²}{(x+4)}

alors cela vaut : (x+2)^3

Posté par
fanfan56re : polynômes 13-11-12 à 21:20

alors là c'est justement ce que j'ai trouvé.

(x+2)(x+4)* (x+2)      (x+2)(x+4)* (x+2)(x+2)             (x+2)(x+4)(x+2)(x+2)
            ______  = ___________  __________   =         ____________________    
            (x+4)            
                          1            (x+4)                     1(x+4)

je retire les deux (x+4)  


(x+2)(x+4)(x+2)(x+2)
____________________    
       (x+4)              = (x+2)(x+2)(x+2) = (x+2)^3
je ne sais pas si c'est la bonne façon, mais j'avais trouvé ce résultat.

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 21:23

il y a beaucoup plus simple,

il s'agit d'une multiplication de facteur

au numérateur et au dénominateur il y a (x+4) que je peux simplifier, je me retrouve ainsi avec (x+2)*(x+2)² = (x+2)3

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 21:24

c'est ce que vous avez fait, il n'est pas nécessaire de décomposer (x+2)²

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 22:04

2/

26/(x+2)(x+4)divisé par 2/3(X+2)²


est ce:

\dfrac{\dfrac{26}{(x+2)(x+4)}}{\dfrac{2(x+2)²}{3}}

ou


\dfrac{\dfrac{26}{(x+2)(x+4)}}{\dfrac{2}{3(x+2)²}}

Posté par
fanfan56re : polynômes 13-11-12 à 22:08


c'est le 2e

  26
_______
(x+2)(x+4)
_________
   2
________
3(x+2)²

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 22:10

= \dfrac{\dfrac{26}{(x+2)(x+4)}}{\dfrac{2}{3(x+2)²}}

= \dfrac{26}{(x+2)(x+4)}}*{\dfrac{3(x+2)²}{2}

je vous laisse continuer

Posté par
fanfan56re : polynômes 13-11-12 à 23:05


    26                 3*(x+2)(x+2)
_______________ *  ___________
(x+2)(x+4)                   2        

= 26 *3 *(x+2)(x+2)
__________________________
(x+2)(x+4)*  2

= 26*3*(x+2)
_____________
(x+4)*2

pas sûre jusque là

Posté par
lolo60re : polynômes 13-11-12 à 23:07

c'est bon jusque la

Posté par
fanfan56re : polynômes 14-11-12 à 08:08

bonjour Lolo60

j'espère que c'est bien ça:

26*(3x+6)     = 78x+6
_________    ____________
(2x+8)           2x+8


merci

Posté par
lolo60re : polynômes 14-11-12 à 20:36

= \dfrac{26}{(x+2)(x+4)}}*{\dfrac{3(x+2)²}{2}

on continue en simplifiant certains termes

= \dfrac{26}{\cancel {(x+2)}(x+4)}}*{\dfrac{3(x+2)\cancel{(x+2)}}{2}

= \dfrac{26*3(x+2)}{2(x+4)}

= \dfrac{26*3(x+2)}{2(x+4)}

= \dfrac{78(x+2)}{2(x+4)}

= \dfrac{39(x+2)}{(x+4)}

= \dfrac{39x+78}{(x+4)}

Votre proposition:

= \dfrac{26*3(x+2)}{2(x+4)}

= \dfrac{26*(3x+6)}{(2x+8)}

= \dfrac{26*3x+26*6}{(2x+8)}

= \dfrac{78x+156}{2x+8}

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