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polynômes

Posté par viviroussel (invité) 08-02-06 à 11:28

bonjour, voila un exo qui me pose bien des pb, puet être pourriez vous m'aider a faire la démo
P appartient a K[x] K un corps
on à a et b appartenant a K
Q1 le quotient de la division de P par (x-a) et Q2 le quotient de la division de P par (x-b)
Montrer que Q1(b)=Q2(a)
merci d'avance car je suis réellement bloqué

Posté par biondo (invité)re : polynômes 08-02-06 à 12:04

Salut,

je vais essayer d'en dire le moins possible...

QUand tu fais la division euclidienne d'un polynome, il y a une condition sur le degre du reste...
Tu ecris les divisions euclidiennes, tu regardes ce que ca donne en substituant a et b a X, et...



A+
biondo

Posté par viviroussel (invité)re : polynômes 08-02-06 à 15:10

j'ai bien compris cela, mais je ne parviens pas à démontre ce qui est demander..je ne vois pas ou je bloque

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynômes 08-02-06 à 16:27

Bonjour viviroussel et biondo;
(*) Si \blue\fbox{a=b} tu as \fbox{Q_1=Q_2} et en particulier \red\fbox{Q_1(b)=Q_2(a)}.
(*) Si \blue\fbox{a\neq b} on a \fbox{P=Q_1(X-a)+c\\P=Q_2(X-b)+d\\c,d\in\mathbb{K}} car (comme l'a remarqué biondo) les restes respectifs de la division euclidienne de P par (X-a) et (X-b) sont des polynomes de degrés strictement inférieurs à 1 (ce sont donc des constantes) et tu as ainsi \fbox{P(a)=c=Q_2(a)(a-b)+d\\P(b)=d=Q_1(b)(b-a)+c} et tu vois que \blue\fbox{Q_1(b)(a-b)=Q_2(a)(a-b)=c-d} et comme on est dans un corps (intégrité) on conclut que \red\fbox{Q_1(b)=Q_2(a)}.
Sauf erreurs bien entendu


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