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Niveau Maths sup
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Polynomes

Posté par
louisedcc
14-04-24 à 11:45

Bonjour,

Je suis bloquée sur cet exercice.
J'ai résonné par double implication, le cas P et Q pairs implique F pair étant immédiat.
Quand à la réciproque, j'ai voulu raisonner par contraposée mais la négation de pair n'est pas impair, donc impossible.

J'ai réussi à exclure le cas P et Q impairs, sinon ils auraient zéro en racine commune, or ils sont premiers entre eux, donc impossible.

Mais je sèche complètement, merci d'avance pour une aide !!

Posté par
louisedcc
re : Polynomes 14-04-24 à 11:46

Pardon, l'énoncé est là

** image supprimée **

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polynomes 14-04-24 à 11:55

Bonjour,

Sylvieg @ 03-04-2024 à 18:30

Bonjour,
@louisedcc,
Tu as la mauvaise habitude de ne pas recopier tes énoncés.
Celui de ce topic était facile à écrire...
Quand tu postes une image, les consignes sont données de manières claires.
Merci d'en tenir compte désormais.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
louisedcc
Polynomes 14-04-24 à 12:02

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice:
Soit F ∈ K(X) de représentant irréductible P/Q Montrer que F est paire si, et seulement si, les polynômes P et Q sont tous deux
pairs.

L'implication P et Q pairs donne F pair est immédiate mais l'autre me bloque.
J'ai essayé par contraposée mais impossible et je tourne en rond dans mes calculs.

Merci d'avance pour une aide !

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Polynomes 14-04-24 à 19:34

Peut-être en décomposant P et Q en somme d'un polynôme pair et d'un polynôme impair ?
P = Pp + Pi
Q = Qp + Qi

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Polynomes 15-04-24 à 00:41

Bonjour


Je suppose bien entendu que la fraction F n'est pas nulle.


\Large\boxed{\Longrightarrow} Supposons F paire.

C'est à dire \Large\boxed{\frac{P(-X)}{Q(-X)}=\frac{P(X)}{Q(X)}} et donc \Large\boxed{P(-X)Q(X)=P(X)Q(-X)}.

Le représentant \frac{P}{Q} étant irréductible on a P et Q premiers entre eux.


Et donc d'après Gauss dans \mathbb K[X], P(X) divise P(-X) : \exists\lambda\in\mathbb K^*~/~P(-X)=\lambda P(X).


Du coup on a aussi  Q(-X)=\lambda Q(X).


\lambda=\pm1.



\lambda=1. sauf erreur de ma part bien entendu



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