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Polynômes et normes
Bonsoir, je suis sur un DM qui est plutôt tendu, et je sèche sur une démo... On demande de démontrer l'existence d'un réel vérifiant des propriétés, et je ne vois pas comment m'y prendre.
, on a la norme :
.
Soit Q un polynôme non nul de
Il faut montrer qu'il existe un unique nombre réel tel que l'on ait les deux conditions :
Pour l'unicité c'est bon, mais pour l'existence, comment s'y prendre ?
Merci d'avance 
Effectivement, je suis d'accord sur cette remarque. La continuité est effectivement quelque chose qui peut servir. Est-ce qu'il y a des choses auxquelles il faut penser immédiatement dans les démonstrations d'existence ? Parce que, je pense que c'est plus une question de méthode qu'une question de visualisation des choses : je ne vois pas comment m'y prendre.
un doute m'envahi : c'est quoi le "n" ?
Parce que si on se limit aux polynômes de degré =<n c'est clair.
Effectivement j'ai oublié de préciser, mais c'est bien cela : c'est pour les polynômes de degrés <= n.
En quoi est-ce clair ? 
Si tu veux bn(Q) = Inf sur P d'une fonction continue P parcourt un compact
(les polynômes de normes 1 par exemple)
l'appication qui à P associe IIPQ II est continue
l'application qui à P assoice II P LL aussi et ne s'annule que si P vaut 0 .
La quotient des deux ne changent pas si tu multiplie P par un complexe a non nul. Donc le Inf sur P non nul du quoitent est le même que le inf sur les polynômes de norme 1 . L'ensemble des polynômes de norme 1 est borné (par 1) et fermé donc c'est un compact.
Une fonction continue sur un compact atteint son minimum qui n'est donc pas nul on l'appelle bn(Q) .
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