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Pour être sur sur un exo d applications
Bonjour, j'ial l'exo suivant dont je ne suis absolument pas sur, pourriez vous m'aider: (R représente le corps des réels)
1)Soit f R --> R : f(x,y) = exp(x) - exp(y)
Trouver l'image directe de f cad f(R²))
Condition nécessaire: Soit x,y ds R.
Si x<y, exp x < exp y ==> f(x)<0
Si x = y, exp x = exp y ==> f(x) = 0
Si x>y, expx >exp y => f(x)>0
Donc f(R²) inclus ds R
Condition suffisante: Soit Y de R². (bon la réciproque je sais pas trop farie faut que j'utilise la surjectivité je suppose mais la j'ai des petits problemees...
2) Soit g(x,y) = (exp x - exp y ; exp x + exp y).
Soit (X,Y) de R². Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que (X,Y) appartienne à g(R²). Déterminer tous les antécédents de (X,Y) . Combien y en a t il? préciser leur nombre? quelle porpriété a g?
CN : Soit (X,Y) de g(R²). Il existe (x,y) appartenant à R² tq: X= expx - exp y et Y = exp x + exp y.
Dc Y>0 et x = ln ((X+Y)/2) et y = ln((Y-X)/2) Donc valeur absolue de X inférieure à celle de Y...
MAis je ne sais absolument pas si la condtion est suffisantet et je suis donc bloqué pour la suite du probleme...
Pourriez vous m'aider svp ?
Merci d'avance.
salut didix
1) Pour la condition suffisante:
Si Y>0, alors on cherche x tel que Y=exp(x)-1 (on prend y=0), soit x=ln(1+Y). Donc Y=exp(x)-exp(0)=f(ln(1+Y),0)
Si Y=0, alors on prend x=y=0.Donc Y=f(0,0).
Si Y<0, alors On cherche y tel que Y=1-exp(y), soit y=ln(1-Y).
Donc Y=f(0,ln(1-Y)).
Bonjour,
c'est assez clair que f(R^2)=R
Si tu prends un élément de R^2 il est envoyé sur R, donc on a déjà une inclusion.
Pour l'autre il suffit de montrer que f est surjective.
Mais c'est clair que si u>-1 tu poses y=0 et x=log(u+1) fonctionne
en effet f(log(u+1),0)=exp(log(u+1))-1=u+1-1=u
Si v<1
f(0,log(-v+1))=exp(0)-exp(log(-v+1))=v
On a alors atteint tout élément de R, sauf erreur de ma part.
A+
Bon, je pense qu'on veut faire montrer que f est surjective mais non injective, tandis que g est bijective...
si f(x,y)=z , e^y=e^x-z et y=ln(e^x-z) défini pour x>lnz
il me semble que g est surjective et non injective en effet, (2,-3) n'a pas d'antécédent car exp x + exp y > -3 donc je dirai il y a au plus un antécédent donc surjectif non?
Ok, mais là tu te contredis pas mal parce que si g est surjective, tout élément possède un antécédent (définition de la surjectivité..)
Je pense que (0,0) n'a pas d'antécédent par exemple par g.
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