Bonjour fusionfroide

A est correct. Ensuite, où est le problème?

f(A)={f(x,x) | x dans R}={(2x,x²)} et ceci est l'ensemble des points (u,v) qui vérifient l'équation
4v-u²=0
ce qui est une parabole!

Ne te laisse pas imprésionner par la topologie!

Ah bah oui c'était tout simple !

Merci Camélia !

Please!

Une dernière question du même style !! :D

J'ai

Le jacobien vaut

Le théorème d'inversion locale s'applique donc pour

Donc pour

Et pour trouver ?

Je dois faire : également ?

Merci

Pour le premier, on m'a aussi conseillé de de résoudre le système f(x,y)=(A,B) et je n'ai pas compris pourquoi !!

Merci

Ne te laisse pas imprésionner par la topologie
Bein voyons dont...
C'est la plus belle science au monde

Le théorème d'inversion locale s'applique dès que la dérivée est inversible.
La dérivée est une matrice dans le cas général (dans R une matrice 1x1 est un réel) et une matrice à valeur dans un anneau commutatif est inversible si et seulement si son déterminant l'est ...
a+

Salut otto et merci de votre réponse !

Pour ce point, c'est d'accord !

Je comprends tout à fait la méthode de Camélia pour l'exo 1, mais je ne comprends pas pourquoi pour déterminer nous devons résoudre

J'espère que la réponse ne se trouve pas dans votre message, auquel cas je l'aurai mal compris

En fait, avec cette méthode, on retrouve le même résultat que Camélia, à savoir

Pas d'idée ?

Ah bah c'est bon j'ai compris !!

J'ai eu un flash !

Bonjour fusionfroide (et otto)
Pour déterminer en général une image, on cherche les y pour lesquels l'équation f(x)=y admet au moins une solution. Maintenant je me demande si j'ai bien compris ton énoncé. A est l'ensemble des points ou le théorème s'applique, ou celui ou il ne s'applique pas? Moi, j'ai pris celui où il ne s'applique pas.

En voyant ton deuxième exo, je me dis que ça doit être le contraire. Vu qu'il suffit d'éliminer (0,0) et que f(0,0)=(0,0).

Je connais cet exo et on demande bien l'image de R² privé de (0,0). Pour tout dire j'avais envie de t'en proposer un du même genre. Essaye donc de voir pour quels (u,v) le système f(x,y)=(u,v) admet des solutions et combien. C'est une excellente occasion de bien comprendre la différence entre "injectif" et "localement injectif".

Courage, si tu n'y arrives pas, redemande!

Bonjour Camélia.

A est l'ensemble des points en lesquels le théroème d'inversion locale s'applique

Pour l'exo 2, je fais ce que tu me proposes et je te tiens au courant

Au fait, pour l'exo 1, je trouve donc la condition

OK! Donc déjà pour la première on cherchait l'image du complémentaire de la bissectrice. Tudois trouver un des deux côtés de la parabole et là aussi il faut résoudre le système.

Donc pour l'exo 2, je trouve en résolvant :



et



DOnc si j'ai bien compris, je dois en déduire des conditions sur A et B ?

Merci

Salut!
Pour l'exo 2 voici la bonne méthode: En identifiant comme d'habitude R² et C, la fonction f est
f(x+iy)=(x²-y²)+2ixy=(x+iy)².
L'ouvert sur lequel s'applique le théorème est U=R²\{0} et il est clair que f(U)U.

Or pour tout nombre complexe Z=A+iB non nul, il existe exactement deux complexes opposés non nuls tels que z²=Z. (Tes formules sont peut-être vraies, je n'ai pas eu le courage de les vérifier, mais l'expression de la racine est certainement compliquée) Ceci montre que f(U)=U et que f n'est pas injective sur U. (De toute façon, on voyait dès le début que f(-x,-y)=f(x,y).)

En revanche en prenant une boule autour d'un (x,y) non nul assez petite pour qu'elle ne contienne aucun opposé de ses éléments, la restriction de f à cette boule est un difféomorphisme de celle-ci sur un voisinage ouvert de f(x,y) et ceci garantit l'existence de détermination de racines carrées dans C et leur différentiabilité sans passer par les formules.

Pour l'exo 1, essaye aussi d'interpréter!

A plus!