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Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp

Posté par tipiou81986 (invité) 08-05-05 à 13:39

Bonjour, voilà j'ai des exos à faire et je rencontre quelques problèmes :

Exercice 1 :

Déterminer le rang de la famille F de vecteurs de E, une base de l'espace engendré par F, les relations de dépendance entre les vecteurs de F, dans chacun des cas suivants :

a) E=R^3, F={(1, 1, 1),(2, 1, 0)}.
b) E=R3[x], F={x²-4x^3, 1-3x², 2x+x²-2x^3, 1+2x2x^3}.
c) E=M4(R), F={(1 1 , (2 1  , (1 0 }.
                1 2)  -2 2)    -3 4)

Voilà, merci beaucoup d'avance
A+

Posté par
Nightmare
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 14:12

Bonjour

Que n'arrives-tu pas à faire ?


  • dépendance entre les vecteurs de F :


Il s'agit de montrer si F est lié ou libre , y arrives-tu ?

  • rang de F


On utilise la définition du rang :
3$\rm rg(F)=dim(Vect(F))

Dans le cas ou F est libre alors 3$\rm dim(Vect(F))=card(F)
Dans le cas ou F est lié , il faut le réduire par combinaison linéaire sur les vecteurs jusqu'a obtenir une sous-famille F' libre . on aura alors :
3$\rm dim(Vect(F))=card(F')

  • base de vect(F)


Il suffit de trouver une sous-famille libre et génératrice dont le cardinal est maximal ( donc dont le cardinal est égal au rang de F)

A toi de jouer


Jord

Posté par tipiou81986 (invité)re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 16:01

merci de m'avoir répondu, par contre c'est pour le rang que je n'y arrive pas, je sais pas trop comment faire...
A+

Posté par
otto
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 16:09

Salut,
le rang d'une famille de vecteurs est le cardinal de la plus grande famille libre que tu peux en extraire.

Par exemple dans R^2 si tu as
(0,1) (1,0) et (1,1) tu vois directement que la famille constituée des 3 vecteurs est liée. Cependant si tu prends 2 de ces 3 vecteurs, tu as une famille libre.
Le rang est donc au moins 2.
Mais les 3 sont liés, donc ca ne peut pas etre 3.
Inférieur strictement à 3 et supérieur ou égal à 2, le rang est donc de 2.

Fais en de même pour le reste,
bonne chance,
a+

Posté par
Nightmare
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 16:16

Re

Je te le fait pour le premier :
3$\rm E=\mathbb{R}^{3} et F=((1,1,1),(2,1,0))

Supposons que F soit liée , alors :
3$\rm \exist(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}  ,  \alpha(1,1,1)+\beta(2,1,0)=0

Si de tels réels existent , alors ils vérifient le systéme :
3$\rm\{{\alpha+2\beta=0\\\alpha+\beta=0\\\alpha=0

Or , l'unique solution de ce systéme est 3$\rm (0,0) ce qui est absurde puisque nos deux réels sont supposés non nuls
Ainsi , la famille n'est pas liée donc elle est \rm\fbox{libre} .

On en déduit alors que 3$\rm card(F)=2 donc que 3$\rm dim(Vect(F))=2 c'est à dire :
3$\rm \fbox{\fbox{\blue rg(F)=2}}



Jord

Posté par
otto
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 17:35

Pour le premier il suffit en fait de voir que les vecteurs ne sont pas colinéaires...

Posté par tipiou81986 (invité)re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 17:37

Merci beaucoup beaucoup.
A+
Bonne soirée

Posté par
Nightmare
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 17:43

Oui otto donc de montrer que la famille est libre (définition de la colinéarité), ce que j'ai fait

De rien tipiou81986


Jord

Posté par
otto
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 17:45

Ok c'est juste que ca me paraissait trop long pour un truc aussi simple

Posté par
Nightmare
re : Pouvez vous me renseigner ? matrices..svp 08-05-05 à 17:48

Lol bah quoi moi je la trouve superbe ma technique !!

Bon aprés tout je débute dans les Espaces vectoriels alors un peu de tolérance


jord



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