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précompacité
Bonjour,
J'aimerai juste avoir un indice, On est dans avec sa distance usuelle
Question n°1
Est-ce difficile de montrer la précompacité de
Question n°2
Et soit une suite quelconque, on pose
, est-ce difficile de montrer la précompacité de
Avez-vous quelques indices...?
Bonsoir,
C'est vraiment ca la question?
Genre "est ce difficile de montrer ca?"
Bah repond non, et oui.
Enfin tu peux aussi répondre oui et oui si ca te chante, mais en vrai c'est non et oui.
Bonsoir mokassin
"C'est vraiment ca la question?"
non, ce sont mes questions, pour savoir si je ne suis pas en train de tourner en rond
une dernière question j'ai passé des heures sur ces trois questions. Je signale également que je m'interdis d'utiliser la théorème de BW vu en L1.
Est-ce difficile de montrer que est compact
Salut mousse.
Dans un espace métrique (donc un espace séparé pour la topologie concomitante ) :
- toute partie compacte est précompacte (pour répondre à la Q1).
- toute partie d'une partie précompacte est précompacte (pour répondre à la Q2).
- toute partie d'un compact n'est pas forcément compacte (pour répondre à la question subsidiaire). Si A est une suite quelconque, impossible de répondre.
C'est incroyable, c'est bien ce qui me semblait...
ok, je redige l'exercice complet, ma solution et ensuite la correction proposée
à dans bientôt merci
Soit
Montrer qu'il existe
Est-ce encore le cas si
Pour la première question, j'ai répondu ceci :
Puisque
Soit j'utilise le théorème de BW vu en L3 (je me suis dit bon trop facile) ou alors puisque
J'ai donc regardé la correction que je ne comprends pas je la rédige mot pour mot
Soit
Puisque
Comme
Quand j'ai lu la correction j'ai failli exploser. voilà tout y est mot pour mot et pourquoi une démonstration aussi compliquée alors que la compacité de
Quand j'ai lu la correction j'ai failli exploser. voilà tout y est mot pour mot et pourquoi une démonstration aussi compliquée alors que la compacité de
Ben, elle est correcte cette preuve. C'est même essentiellement la meme que la tienne en fait. Il y a un argument, l'inf est atteint, et donc est strictement positif.
Montrer que [0,1] est compact n'est pas difficile. Mais tout dépend d'où tu pars, en general un des premiers trucs qu'on montre sur R c'est qu'il est localement compact, ce qui implique que [0,1] est compact.
Montrer que R est localement compact n'est pas compliqué, et résulte d'un simple processus de dichotomie : tu prend un recouvrement ouvert de [a,b] s'il a pas de sous recouvrement fini, alors [a,(a+b)/2] ou [(a+b)/2,b] n'en a pas non plus, itère, tu obtiens une suite de segment emboité, dont l'intersection est un point, contenue dans un ouvert, du recouvrement, qui cotient une boule de rayon r et donc contient un des segments qui peut donc etre recouvert par un nombre fini d'ouvert de ton recouvrement initial.
On en déduit que R est complet car tout suite de Cauchy ayant une suite extraite convergente est elle meme convergente.
Tu en déduis aussi le théorème des "bornes atteintes", car l'image d'un compact par une application continue est compact.
L'auteur utilise directement la caractérisation séquentielle de la compacité valable dans un espace métrique.
On peut bien sur faire différemment et prouver directement la complétude de R, puis sa locale compacité ensuite.
Bon ! Je vais la rédiger autrement (plus pédagogique) merci pour vos corrections 
Puisque est définie sur
, on considère l'ensemble
, dès lors
possède une borne inférieure que l'on note
telle que
l'objectif est de montrer que
.
Notons que est dans la fermeture de
, ainsi il existe
tel que
, et puisque pour tout
, il existe
tel que
La suite étant construite et puisque
est un compact, il existe une sous-suite
qui converge vers
, et puisque
est continue on a
donc
et puisque , on déduit que
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