Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Premier théorème de transfert

Posté par
jbsph 11-06-26 à 09:32

Bonjour, je ne comprends pas d'où vient la valeur absolue de la dérivée de la réciproque de h dans le théorème suivant (je sais que ce théorème n'est pas à connaître et qu'il faut systématiquement "refaire la démonstration" quand on doit l'utiliser car les hypothèses sont très délicates mais j'aimerais comprendre).

Théorème: Soit X une va réelle de densité f sur \Delta et soit h un difféomorphisme de \Delta sur D. Alors la va Y=h(X) adment une densité g définie par:
g(y) = f\!\left(h^{-1}(y)\right)\,\left|\left(h^{-1}\right)'(y)\right|\,\mathbf{1}_{D}(y).

je ne comprends pas comment on obtient  \left|\left(h^{-1}\right)'(y)\right|. Mon problème est pour les valeurs absolues: je comprends qu'il faut distinguer 2 cas selon le sens de variation de h (identique à celui de sa réciproque) et ainsi, selon h croissante ou décroissante on obtient deux densités opposées. Une densité est nécessairement positive mais mathématiquement, lorqu'on dérive y \mapsto F_X\!\left(h^{-1}(y)\right)
, pourquoi laisse-t-on apparaître cette valeur absolue ?

Posté par
jbsphre : Premier théorème de transfert 11-06-26 à 09:35

Car dans certains cours pour la transformation aX + b, il est noté g(y)=\frac{1}{|a|}\,f\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
J'ai le même soucis sur cet exemple simple, pourquoi \mid a \mid et pas a ?

Posté par
mdr_nonre : Premier théorème de transfert 12-06-26 à 11:35

Bonjour,

Quand h est décroissante, la dérivée de sa réciproque (h^{-1})' est négative, et la fonction de répartition est décrite par :
P(Y \leq y) = P(X \geq h^{-1}(y)) = 1 - P(X \leq h^{-1}(y)) + P(X = h^{-1}(y)),
avec le dernier terme nul. C'est en dérivant cette expression que vient le signe −, et donc la valeur absolue.

Posté par
jbsphre : Premier théorème de transfert 13-06-26 à 17:41

Oui et l'opposé d'un nombre négatif est positif donc dans les deux cas on a bien une densité positive.
Merci.

Posté par Profil ialamere : Premier théorème de transfert 14-10-26 à 20:39

Bonjour
Un difféomorphisme est une bijection donc monotone.
Si h croissante:
F_Y(y)=P(Y<y)=P(h(X)<y)=P(X<h^{-1}(y))=F_X(h^{-1}(y))
f_X(y)=\frac{d}{dy}(F_Y(y))=\frac{d}{dy}(F_X(h^{-1}(y)))=f(h^{-1}(y))h^{-1}'(y)
Si h décroissante:
F_Y(y)=P(Y<y)=P(h(X)<y)=P(X>h^{-1}(y))=1-P(X\leq h^{-1}(y))=1-F_X(h^{-1}(y))
f_X(y)=\frac{d}{dy}(F_Y(y))=1-\frac{d}{dy}(F_X(h^{-1}(y)))=-f(h^{-1}(y))h^{-1}'(y)

Posté par Profil ialamere : Premier théorème de transfert 14-10-26 à 20:41

f_Y(y) au lieu de f_X(y)

Posté par Profil ialamere : Premier théorème de transfert 14-10-26 à 20:42

Je vous conseille le site ***publicité abusive****


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1769 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !