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Premier théorème de transfert

Posté par
jbsph 11-06-26 à 09:32

Bonjour, je ne comprends pas d'où vient la valeur absolue de la dérivée de la réciproque de h dans le théorème suivant (je sais que ce théorème n'est pas à connaître et qu'il faut systématiquement "refaire la démonstration" quand on doit l'utiliser car les hypothèses sont très délicates mais j'aimerais comprendre).

Théorème: Soit X une va réelle de densité f sur \Delta et soit h un difféomorphisme de \Delta sur D. Alors la va Y=h(X) adment une densité g définie par:
g(y) = f\!\left(h^{-1}(y)\right)\,\left|\left(h^{-1}\right)'(y)\right|\,\mathbf{1}_{D}(y).

je ne comprends pas comment on obtient  \left|\left(h^{-1}\right)'(y)\right|. Mon problème est pour les valeurs absolues: je comprends qu'il faut distinguer 2 cas selon le sens de variation de h (identique à celui de sa réciproque) et ainsi, selon h croissante ou décroissante on obtient deux densités opposées. Une densité est nécessairement positive mais mathématiquement, lorqu'on dérive y \mapsto F_X\!\left(h^{-1}(y)\right)
, pourquoi laisse-t-on apparaître cette valeur absolue ?

Posté par
jbsphre : Premier théorème de transfert 11-06-26 à 09:35

Car dans certains cours pour la transformation aX + b, il est noté g(y)=\frac{1}{|a|}\,f\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
J'ai le même soucis sur cet exemple simple, pourquoi \mid a \mid et pas a ?

Posté par
mdr_nonre : Premier théorème de transfert 12-06-26 à 11:35

Bonjour,

Quand h est décroissante, la dérivée de sa réciproque (h^{-1})' est négative, et la fonction de répartition est décrite par :
P(Y \leq y) = P(X \geq h^{-1}(y)) = 1 - P(X \leq h^{-1}(y)) + P(X = h^{-1}(y)),
avec le dernier terme nul. C'est en dérivant cette expression que vient le signe −, et donc la valeur absolue.

Posté par
jbsphre : Premier théorème de transfert 13-06-26 à 17:41

Oui et l'opposé d'un nombre négatif est positif donc dans les deux cas on a bien une densité positive.
Merci.


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