Bonjour grinou

On voit clairement que F_n est clairement indéfiniment dérivable sur -{-n} et continue sur .
Il s'agit donc d'étudier jusqu'à quel ordre cette fonction est dérivable en -n.
On sait que comme F_n admet une dérivée à gauche de 0 qui vaut 0 (puisque la fonction est nulle pour x-n).
Ainsi, l'ordre recherché est le premier entier k pour lequel , c'est à dire pour k=n.
En effet, à droite de -n, la fonction est le restriction d'une fonction polynômiale qui admet -n comme racine d'ordre n.
On a donc pour tout entier p compris entre 0 et n-1, le dérivée p-ième à droite de -n de la fonction est nulle et pour p=n, la dérivée est une constante égale à qui est non nulle.

Kaiser