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Niveau Maths sup
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Prépa HEC DM : 2° Question

Posté par Raph (invité) 17-02-02 à 17:25

2)

Soient (a,b) de R^2 tels que a<b, soit G:[a,b]=>R de classe C1.Mmontrer
que :

limite quand n==>+ infini de Intégrale de a à b de G(t)sin(nt)dt=0

Re-Merci

Posté par Dran (invité)re : Prépa HEC DM : 2° Question 17-02-02 à 22:55

Faire une intégration par parties en posant u(t)=G(t) et v'(t)=sin(nt)
u est dérivable et de dérivée continue par hypothèse, ce qui justifie
pleinement cette intégration.
Int(G(t)sin(nt),t,a,b)=[-G(t)cos(nt)/n]{a,b}+Int(G'(t)*cos(nt)/n,t,a,b]
On pose M=sup(G(t),t,a,b) existe car G est continue sur l'intervalle
compact [a,b]
On pose M'=sup(G'(t),t,a,b) existe car G' est continue
sur [a,b] et pour la même raison.
Le premier terme est majoré en valeur absolue par 2M/n (majorer grossièrement
le cos(nt) par 1) et le deuxième par M'(b-a)/n
Ces deux termes tendent vers 0 quand n tend vers l'infini et le
tour est joué !
Voila !



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