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[Prépa HEC] Suites...

Posté par XMika (invité) 22-09-05 à 13:55

Bonjour, je bloque sur une partie de mon devoir de mathématiques qui porte sur des suites quelques peu compliquée. Je joins à cette requête l'énoncé du devoir, les questions 1 et 2 étant indépendantes je précise que c'est la question 2b et 2c.

La possibilité pour la question 2b de l'utilisation de la suite extraite a été étudié mais hélas sans résultat concret.
J'avais sinon pensé à démontrer l'inégalité en prouvant que le dénominateur de l'égalité soit : 2(2+v_{n+2})<3
Mais la résolution n'en serait pas plus bonne étant donnée le besoin de trouver des valeurs absolues dans l'inégalité à démontrer.

Voici l'énoncé .

Si vous préférez le voir copié sur le forum en utilisant le langage LaTeX, merci de me le signaler.

Merci de votre aide.

Posté par philoux (invité)re : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 13:56

Oui XMika

Il faut le mettre en intégral (lis la FAQ)

Philoux

Posté par XMika (invité)re : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 15:19

Péliminaire :

Soit (x_n) une suite numérique qui vérifie, pour tout entier naturel n la relation :
x_{n+2}=\frac{1}{3} x_{n+1}+\frac{1}{3}x_n
Montrer que \lim_{n\to +\infty} x_n=0
On donne \frac{1+\sqrt{13}}{6}=0.77  à 10^{-2} près par excès et \frac{1-\sqrt{13}}{6}=-0.44  à 10^{-2} près par défaut.

a et b sont deux réels supérieurs ou égaux à 1.
On étudie la suite numérique (u_n) définie par :
u_0=a u_1=b et pour tout entier naturel n, u_{n+2}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}

Question 2/ b/
Vérifier que pour tout entier narutel n : v_{n+2}= \frac {v_{n+1}+v_n}{2(2+v_{n+2}}
En déduire que |v_{n+2}|\le \frac{1}{3}(|v_{n+1}|+|v_n|)

Question 2/ c/
On note (x_n) la suite définie par x_0=|v_0|, x_1=|v_1| et, pour tout entier naturel n, x_{n+2}=\frac{1}{3}x_{n+1}+\frac{1}{3}x_{n}
Montrer que pour tout entier narurel n, |v_n|\le x_n et conclure quant à la convergence de la suite (u_n)

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 17:28

En passant à la limite dans la relation de récurrence, on en déduit :
Si (xn) a une limite alors cette limite est 0

Mais (xn) a-t-elle une limite ?
On peut montrer par récurrence que :
|x_n|\le(\frac{1}{3})^{n-1}(|x_0|+|x_1|)
Donc x_n\to 0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 17:34

Ma majoration est fausse. Je cherche encore...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 17:46

Je voulais initialement y aller en finesse.
Sortons l'artillerie lourde.
On applique les méthodes générales des suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_r%C3%A9currente_lin%C3%A9aire#Suite_r.C3.A9currente_lin.C3.A9aire_d.E2.80.99ordre_2

x_n=\lambda(\frac{1-\sqrt{13}}{6})^n+\mu(\frac{1+\sqrt{13}}{6})^n
Comme les deux nombres mis à la puissance n ont leur valeur absolue strictement plus petite que 1, on en déduit :
x_n\to 0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 17:51

Pour la suite, ton énoncé recopié est largement incomplet. En sautant des questions, tu ne nous aides pas pour... t'aider ! En particulier, tu ne nous donnes pas la définition de v(n) !

1)a) Montrer que pour tout n, u(n) est bien définie et est supérieur à 1

Récurrence facile sur n.

1)b) Montrer que la seule limite possible est 4

En passant à la limite dans la relation de récurrence.

On pose \fbox{v_n=\frac{1}{2}\sqrt{u_n}-1}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 17:53

2)a) Montrer que si v(n) tend vers 0, alors u(n) tend vers 4

Très facile.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 17:59

2)b) Vérifier que pour tout entier narutel ...

Il suffit de dérouler les calculs...

v_{n+2}=\frac{1}{2}\sqrt{u_{n+2}}-1
\Leftrightarrow (2v_{n+2}+2)^2=u_{n+2}
\Leftrightarrow 4v_{n+2}^2+8v_{n+2}+4=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}
\Leftrightarrow 4v_{n+2}(v_{n+2}+2)+4=2v_n+2+2v_{n+1}+2
\Leftrightarrow 2v_{n+2}(v_{n+2}+2)=v_n+v_{n+1}
\Leftrightarrow v_{n+2}=\frac{v_n+v_{n+1}}{2(v_{n+2}+2)}

A toi de continuer !

Posté par XMika (invité)re : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 18:37

Merci pour ton aide.

Comme précisé dans le sujet initial les questions qui me posaient problème étaient les 2a/ et 2b/.
J'ai effectivement ommis de préciser certaines choses du fait de la présence de l'énoncé en pièce jointe.
Je pensais aussi scanner la resolution des exercices précédent mais étant donné que seul le langage LaTex est préconisé je me suis dit que cela aurait été long et peu utile.

Autrement, merci encore pour ton aide sur la question 2/b et 2/c Nicolas_75 !

à bientôt.

Posté par XMika (invité)re : [Prépa HEC] Suites... 22-09-05 à 20:49

L'apport d'information de Nicolas_75 au niveau de la question 2/c/ ne m'éclaire pas d'avantage, en effet ce qu'il écrit est une propriété déjà vérifiée dans le préliminaire comme je l'ai écrit (cf ultra).

Si quelqu'un pouvait m"éclairer à ce sujet.

Merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : [Prépa HEC] Suites... 23-09-05 à 05:12

2)b)-suite En déduire que |v_{n+2}|\le\frac{1}{3}(|v_{n+1}|+|v_n|)

Très facile après la question précédente

2)c) Montrer que pour tout n |v_n|\le x_n

Récurrence facile

Conclure quant à la convergence de la suite (un)

De la question précédente, on déduit la limite de (vn), puis celle de (un) grâce à une autre question précédente.


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