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Préparer olympiade math

Posté par
hasshass 03-07-21 à 12:05

modération > **Bonjour***

Voici un exercice dont j'ai besoin de votre aide
Si \frac{1}{a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
Calculer
\frac{a^3}{b^3}

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
ty59847re : Préparer olympiade math 03-07-21 à 12:40

a et b sont des éléments de R ?

Posté par
carpediemre : Préparer olympiade math 03-07-21 à 13:16

salut

évidemment a et b ne sont pas nuls ni opposés ...

\dfrac 1 {a + b} = \dfrac 1 a + \dfrac 1 b \iff ab = (a + b)^2

donc \dfrac a b = \left( \dfrac a b + 1 \right)^2\iff q = (q + 1)^2 \iff q^2 = -q - 1  en posant q = a/b

donc q^3 = -q^2 - q = ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 03-07-21 à 14:55

Bonjour,
Énoncé incomplet et sans intérêt si a et b sont des réels.
Une variante à partir de \; ab = (a+b)2 :
a2 + ab + b2 = 0.
Donc
(a-b)(a2 + ab + b2) = 0.

Posté par
jverre : Préparer olympiade math 07-07-21 à 22:13

Je ne comprends pas. a et b réels?
Donc, si S=a+b et P=ab, on a immédiatement S^2=P
Pour un S donné, a et b sont donc solutions de X^2-Sx+S^2=0 dont le discriminant est -3S^2 négatif; a et b ne sont pas dans R.
Par ailleurs \frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}-1=\frac{S}{b}-1. Orb=S-Si\sqrt{3} (par exemple) et ainsi:\frac{a}{b}=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}-1=\frac{i\sqrt{3}-3}{4}
Est-ce que je me gourre?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 07-07-21 à 22:42

Oui, donc si l'énoncé précise que a et b sont réels, alors l'énoncé est stupide.
Attention cependant si S et P son nuls :
Il y a un couple de réel solution de S = P = 0, alors que S2 = P.

Que dit l'énoncé sur a et b ? Où sont-ils ?

Sinon, l'objectif est de trouver a3/b3.
Essaye d'utiliser nos indications.
Ce que tu trouves est faux. D'où sort le \; b=S-Si\sqrt{3} \; ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 07-07-21 à 22:45

J'ai compris d'où venait le \; b=S-Si\sqrt{3}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 07-07-21 à 22:49

Tu affirmes que -3S2 est négatif ; mais si S n'est pas réel, -3S2 peut ne pas être réel ; tu ne peux alors pas parler du signe de -3S2.

Tu vas nous dire un jour ce que dit l'énoncé sur a et b au départ ?

Posté par
lafol Moderateurre : Préparer olympiade math 08-07-21 à 08:47

Bonjour
jver = hasshass ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 08-07-21 à 09:08

Bonjour lafol,
Merci de m'avoir fait réaliser que jver n'est pas le demandeur.
J'ai répondu comme si c'était hasshass.
Le dit hasshass qui a disparu des radars...

Posté par
jverre : Préparer olympiade math 08-07-21 à 16:52

Je ne suis pas!!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 08-07-21 à 17:06

@jver,
On va donc considérer que a et b sont des complexes non nuls de somme non nulle.
Si tu veux traiter l'exercice, essaye d'exploiter ab = (a+b)2 comme je l'indique le 3 à 14h55.
N'oublie pas que l'objectif est de trouver la valeur de \; a3/b3 .

Posté par
matheuxmatoure : Préparer olympiade math 08-07-21 à 18:52

bonsoir

l'idée de jver est tout à fait bonne... peut importe que S soit réel ou pas, les racines de son discriminant sont i S 3

et a et b valent S(1+i3) et S(1-i3)

le rapport des cubes se fait tout seul sous forme trigo avec ((a/2)/(b/2)) et donne... -1 si je ne m'abuse

Posté par
matheuxmatoure : Préparer olympiade math 08-07-21 à 19:19

"peu importe"... sans T !

Posté par
matheuxmatoure : Préparer olympiade math 08-07-21 à 19:20

en fait il doit plutôt donner 1 ce rapport des cubes... bon allez, je vais manger parce que là je déraille

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Préparer olympiade math 08-07-21 à 22:08

@matheuxmatou,
As-tu essayé de regarder ce que donne \;(a-b)(a2 + ab + b2) \; ?

Posté par
matheuxmatoure : Préparer olympiade math 09-07-21 à 10:52

Sylvieg
non...
je me suis surtout penché sur la remarque de jver

Posté par
matheuxmatoure : Préparer olympiade math 09-07-21 à 10:56

Sylvieg @ 08-07-2021 à 22:08

@matheuxmatou,
As-tu essayé de regarder ce que donne \;(a-b)(a2 + ab + b2) \; ?


et c'est vrai que ça conduit plus rapidement au résultat

Posté par
carpediemre : Préparer olympiade math 09-07-21 à 14:28

ouais enfin :

carpediem @ 03-07-2021 à 13:16

salut

évidemment a et b ne sont pas nuls ni opposés ...

\dfrac 1 {a + b} = \dfrac 1 a + \dfrac 1 b \iff ab = (a + b)^2

donc \dfrac a b = \left( \dfrac a b + 1 \right)^2\iff q = (q + 1)^2 \iff q^2 = -q - 1   \red (1)  en posant q = a/b

donc q^3 = -q^2 - q = \red -(-q - 1) - q = ...

la division par b est purement formelle pour faire apparaitre le quotient a/b ... que je note q

ensuite je multiplie (1) par q et réinjecte la relation précédente (1) ... ce qui consiste à ne faire qu'une soustraction ...

pour le fun : que vaut q^{100}  ?


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