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Preuve d'un lemme

Posté par
fusionfroide 03-06-07 à 17:36

Salut

J'ai du mal avec la preuve du lemme suivant :

On note $4$\mathbb{Q}$ l'ensemble des cubes fermés dont les côtées sont parallèeles aux axes.

Lemme :

Soit $\fbox{4$\Psi : U \tex{ouvert} \subset \mathbb{R^N} -> \mathbb{R^N}}$ une application $4$\mathbb{C^1}$

$4$\forall Q \in \mathbb{Q}$ , on a : $\fbox{4$\lambda_N(\Psi(Q)) \le (\sup_{y\in Q} ||d\Psi(y)||)^N\lambda_N(Q)}$ où $\fbox{4$|d\Psi(y)| = \sup_{1\le j\le N} \Bigsum_{j=1}^N |\frac{\partial \Psi_j}{\partial x_j}(y)|}$

Preuve :

$4$a,b \in Q$

$4$\forall 1 \le i \le N$ :

$4$\Psi_i(a)-\Psi_i(b)=\Bigsum_{j=1}^N \frac{\partial \Psi_i}{\partial x_j}(t_ia+(1-t_i)b)(a_j-b_j)$ où $4$t_i \in [0,1]$

C'est là où ça bloque : on dit que : $4$|\Psi_i(a)-\Psi_i(b)|\le h\sup_{y\in Q}\Bigsum_{j=1}^N |\frac{\partial \Psi_i}{\partial x_j}(y)|$

Merci de m'éclairer car je ne vois pas d'où vient ce h !

Posté par re : Preuve d'un lemme 03-06-07 à 19:16

re

ici, on aurait majoré en utilisant l'inégailté triangulaire donc on se retrouverait avec $\Large{|a_{i}-b_{i}|\leq h}$

J'en déduis donc que h est peut-être le diamètre du cube pour une certaine norme (la norme 1 ou la norme infinie il semblerait).
Kaiser

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