C'est effectivement un peu plus difficile de démontrer que R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.
Une façon de le prouver est de trouver une famille libre comportant un nombre infini d'élements . En voici une. Si on note (pi)i>=1 la suite des nombres premiers et xi=ln(pi),
, alors la famille (xi) est libre dans R vu comme Q-espace vectoriel. Si ce n'était pas le cas, il existerait un entier n et des rationnels a1,....,an non tous nuls tels que
a1ln(p1)+....+anln(pn)=0
Quitte à tous les mettre au même dénominateur et à simplifier par le dénominateur commun, on peut supposer que tous les ai sont des entiers. En utilisant les propriétés du logarithme, cette égalité se ramène à ln(p1^a1*....pn^an)=0 équivalent à p1^a1*....pn^an=1.
Mais ceci contredit l'unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers.
ma question: pourquoi on suppose que les ai sont des entiers et c'est quoi ce dénominateur commun, merci beaucoup