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Preuve simple de la non inversibilité d’une matruce
Bonsoir à tous, pourriez-vous m'éclairer sur la justesse de ma réponse à l'énoncé suivant svp?
Soit A une matrice carrée inversible d'ordre n et nilpotente d'ordre p.
Montrer que A est non inversible.
Par l'absurde, si A est inversible alors rg(A)=n, et A^p est aussi inversigle de rang rg (A^p)=n .
Or A^p=0 donc rg(A^p)=0
Contradiction.
A non inversible. CQFD
(Méthode 2 : Si A inversible alors A^-1 existe. On devrait obtenir (A^p)*A^-1=0 puisque A^p=0. Or A^p≠1. Contradiction. CQFD)
Merci beaucoup pour votre aide.
salut
Soit A une matrice carrée inversible d'ordre n et nilpotente d'ordre p.
Montrer que A est non inversible.
Or A^p=0 donc rg(A^p)=0
Erratum: Elle n'est pas inversible juste carrée et nilpotente. Ce soir je ne sais pas ce que j'ai je fais des erreurs de frappe. Pourquoi n'est ce pas convainquant?
Bonjour,
Il n'y a pas contradiction si . Normal, la matrice carrée de taille 0 est inversible (de déterminant 1, et égale à sa propre inverse) et nilpotente, en fait même nulle.
Bonjour
Pour formuler une preuve sans passer par l'absurde :
Une telle matrice vérifie , donc
, sachant que
car A est p-nilpotente.
La deuxième égalité de la ligne du dessus montre alors que toute colonne de appartient à Ker(A). Mais
étant non-nulle, elle a forcément au moins une colonne non-nulle. Cette colonne non-nulle appartient au noyau de A, donc A n'est pas inversible (car pour rappel, être inversible est équivalent à avoir un noyau réduit à {0})
Sauf erreur, ça fait un moment que je n'ai plus fait ce genre de raisonnements 
Bonjour merci beaucoup pour cette réponse mais je ne savais pas que matrice inversible <=> noyau réduit à {0}. Cette propriété est-elle vue en bac+1?
Ca dépend dans quel fac tu es. C'est un truc essentiel de l'algèbre linéaire
Une fois que tu fais le lien entre toutes ces choses là, le fait que les matrices inversibles sont celles qui transforment R^n en R^n (en faisant le lien avec leurs endomorphismes), et que toutes celles qui ne sont pas inversibles sont celles qui transforment R^n en R^m (m<n), et que par conséquent si on a perdu de la dimension c'est qu'il y a une partie des points non-nuls qui vont "à la poubelle" (le noyau), c'est à dire qui deviennent 0 par la transformation
Le lien avec le déterminant devient immédiat : la matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non-nul. Il faut voir le déterminant comme un multiplicateur d'aire/volume/mesure
Tout ça, c'est des façons de voir les choses. Telles que je les ai dites, évidemment c'est pas très rigoureux
Bonjour,
Moi aussi, ça fait un moment 
Je propose un raisonnement par l'absurde sans parler de rang, qui utilise seulement l'associativité du produit.
On suppose la matrice A p-nilpotente et inversible d'inverse B.
Alors Ap = 0
et
A
B = I.
D'où Ap
Bp = 0Bp = 0 .
Et Ap
Bp = I
Or 0
I .
En fait, il est plus simple d'utiliser ApB comme dans la méthode 2 de Greyy dans son premier message 
Merci beaucoup pour l'explication @Zormuche et pour votre suggestion @Sylvieg. Pour répondre à @Camélia, non le déterminant n'est pas hors programme, enfin je ne vois pas comment faire sans aucune information sur les coefficients de la matrice, mais n'hésitez pas à proposer votre raisonnement dans tous les cas c'est toujours intéressant.
C'est une très bonne idée d'utiliser le déterminant de la matrice A.
Voici les propriétés utiles :
Si D = Det (A) et E = Det(B) alors Det(AB) = DE.
Le déterminant d'une matrice inversible est non nul.
Les connais-tu ?
Ah oui! je ne l'avais pas du tout vu comme ça, mais effectivement je connais cette propriété. Peut-on écrire :
" det(A^p)=(det(A))^ p par la propriété précédente
or comme A^p est la matrice nulle son déterminant vaut 0
On en déduit que det(A)=0 " ?
Finalement quelle méthode est la plus élégante?
Oui, Det(Ap) = (Det(A))p.
Si A est nilpotente d'ordre p alors Ap est la matrice nulle.
D'où (Det(A))p = Det(Ap) = 0 ; donc Det(A) = 0.
Et enfin A non inversible car de déterminant nul.
La notion d'élégance est subjective
J'aime bien ta méthode 2 car elle n'utilise que des notions assez élémentaires.
Celle avec les déterminants n'est pas par l'absurde.
votre rédaction est meilleure ! 
merci pour votre aide
et oui c'est vrai que la méthode 2 a le mérite d'être simple, courte et efficace
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