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Primitive

Posté par
toureissa 15-06-18 à 11:41

Bonjour ,

Cette primitive m'a fatigué depuis quelques jours . j'ai cherché  une forme \int \frac{du}{1+u^2}, mais je n'ai pas eu.

La Voici: \int \frac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}dx.

Merci de m'aider !

Posté par
mousse42re : Primitive 15-06-18 à 11:46

Bonjour,

Il me semble que l'on a une forme en u'u^{\alpha}

Posté par
mousse42re : Primitive 15-06-18 à 11:52

non, je retire ce que j'ai dit, mille excuses

Posté par
verdurinre : Primitive 15-06-18 à 12:24

Bonjour,

\dfrac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}=\dfrac{x+1-2}{(x+1)^2+2}=\dfrac{x+1}{(x+1)^2+2}-2\dfrac{1}{(x+1)^2+2}

Le premier terme donne un log et le second un arctan.

Posté par
mousse42re : Primitive 15-06-18 à 12:28

Salut Verdurin

Il manque pas un carré quelque part

Posté par
mousse42re : Primitive 15-06-18 à 12:37

Ce n'ets pas  plutôt :

\int\dfrac{x-1}{(x^2+2x+3)^2} dx =\int \dfrac{2x+2}{2(x^2+2x+3)^2}dx-\int\dfrac{2}{((x+1)^2+2)^2}dx=\int \dfrac{2x+2}{2(x^2+2x+3)^2}dx-2\int \dfrac{1}{(u^2+2)^2} du

et la dernière primitive ( \int \dfrac{1}{(u^2+2)^2} du )  me pose problème

Posté par
Glapion Moderateurre : Primitive 15-06-18 à 12:56

Le changement de variable u = 2 tan t devrait marcher.

Posté par
verdurinre : Primitive 15-06-18 à 16:24

Salut mousse42
En effet.

Posté par
toureissare : Primitive 16-06-18 à 10:13

Bonjour,

En appliquant le changement de variable de Glapion, j'ai eu :

\int \frac{x^4+4x^3+11x^2+12x+8}{(x^2+2x+3)^2(x+1)}dx=\ln|x+1|-\frac{1}{2(x^2+2x+3)}-\sqrt{2}\arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}})+C

Posté par
Glapion Moderateurre : Primitive 16-06-18 à 10:58

Mais ça n'est pas ton intégrale d'origine ça ?

Tu devrais trouver :

\int \dfrac{x-1}{(x^2+2x+3)^2} dx = \dfrac{1}{4} [ - \dfrac{2(x+2)}{x^2+2x+3}-\sqrt{2} \arctan( \dfrac{x+1}{\sqrt{2} })] + C

Posté par
toureissare : Primitive 16-06-18 à 11:07

Oui .

Je me suis tromper. Car premièrement j'ai décomposé  \frac{x^4+4x^3+11x^2+12x+8}{(x^2+2x+3)^2(x+1)}=\frac{1}{x+1}+\frac{x-1}{(x^2+2x+3)^2} ensuite j'ai pas pu intégrer la deuxième partie que j'ai posté ici.

Posté par
Glapion Moderateurre : Primitive 16-06-18 à 11:20

il y a des petites différences. ça rajoute seulement le ln |x+1| par rapport à ce que j'ai écris. ton résultat de 10:13 est faux.

Posté par
toureissare : Primitive 16-06-18 à 11:34

\int \frac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{(2x+2)dx}{(x^2+2x+3)^2}-2\int \frac{dx}{((x+1)^2+2)^2}

\frac{1}{2}\int \frac{(2x+2)dx}{(x^2+2x+3)^2}=...


u=x^2+2x+3

du=(2x+2)dx

\frac{1}{2}\int \frac{(2x+2)dx}{(x^2+2x+3)^2}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{2u}

Posté par
mousse42re : Primitive 16-06-18 à 11:35

mousse42 @ 15-06-2018 à 12:37

Ce n'ets pas  plutôt :

\int\dfrac{x-1}{(x^2+2x+3)^2} dx =\int \dfrac{2x+2}{2(x^2+2x+3)^2}dx-\int\dfrac{2}{((x+1)^2+2)^2}dx=\int \dfrac{2x+2}{2(x^2+2x+3)^2}dx-2\int \dfrac{1}{(u^2+2)^2} du

et la dernière primitive ( \int \dfrac{1}{(u^2+2)^2} du )  me pose problème


Je poursuis avec \int \dfrac{1}{(u^2+2)^2} du  :

\begin{array}{ll}\displaystyle \int \dfrac{1}{1+u^2} du &=\bigg[\dfrac{u}{1+u^2}\bigg]+2\int \dfrac{u^2}{(1+u^2)^2}du \\\\&=\bigg[\dfrac{u}{1+u^2}\bigg]+2\int \dfrac{1}{1+u^2} du -2\int \dfrac{1}{(1+u^2)^2} du \end{array}

Ainsi on trouve :

\int \dfrac{1}{(1+u^2)^2}du =\dfrac{1}{2}\left(\bigg[\dfrac{u}{1+u^2}\bigg]+\int \dfrac{1}{1+u^2}du\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u}{1+u^2}+\arctan u\right)

reste à rassembler les résultats

Posté par
mousse42re : Primitive 16-06-18 à 11:38

C'est ce qui est appelé "Integration by reduction formulae" sur wikipedia

Posté par
mousse42re : Primitive 16-06-18 à 12:37

Je viens de voir que j'ai fait une petite erreur, j'ai oublié un changement de variable pour obtenir \lambda \int \dfrac{1}{(1+s^2)^2}ds à partir de \int \dfrac{1}{(u^2+2)^2} du , mais le principe est le même.

Posté par
toureissare : Primitive 16-06-18 à 22:34

Je trouve cette méthode très cool.
Je vous remercie tous !


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