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primitive avec arctan(x)

Posté par tinou59bis (invité) 15-02-07 à 23:06

bonsoir a tous;

l'integrale  1/(4+x²)dx. je sais que la primitive de 1/(1+x²)= Arctan(x)  (1)

alors dans j'ai factorisé par 1/4. et ça donne  1/4 * ( 1 / (1 + (x/2)²)), par linearité de l'integrale je sors le 1/4 de l'intégrale et il reste donc d'aprés (1)

                                       (1/4) * arctan(x/2)

le probleme c'est que cela ne respecte pas la formule suivante :  

      integrale ( 1/(a²+x²))dx = (1/a)Arctan(x/a) +C             (2)


si quelqu'un pouvait m'aider à resoudre ce mini probleme! et si quelqu'un connaissait une preuve de la formule  (2) cela m'interesse !  

merci d'avance!

Posté par
Cauchyre : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:20

Si vu que quand tu dérives arctan(x/2) ca sort un 1/2 .

Posté par tinou59bis (invité)re : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:26

Pourquoi?

faut'il faire une dérivation de fonction composé ?

u(x)= x/2  u'(x)=1/2   v(x)= Arctan(x)  v'(x)= 1/(1+x²)

     f'(x) = v'(u(x)) * u'(x)
            = 1/(1+(x/2)²)  * (1/2)


si c'est ca je comprends cette dérivation mais toujours pas l'intégration....

Posté par
Cauchyre : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:31

Une primitive de 1/(1+(x/2)²) n'est pas Arcan(x/2) mais 2Arctan(x/2).

Posté par tinou59bis (invité)re : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:33

pourriez vous m'expliquer pourquoi?? car une primitive de 1/(1+x²) est Arctanx .

Posté par
Cauchyre : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:36

Oui mais quand tu dérives Arctan(x/2) c'est la composée de deux fonctions u(x)=x/2 et v(x)=arctan(x) donc la dérivée est u'(x)*v'(u(x))=1/2*1/(1+(x/2)²) donc il faut mettre un coefficient 2 si tu veux éliminer le facteur 1/2.

Tu peux le voir en primitivant en faisant un changement de variable u=x/2.

Posté par
Roulianere : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:36

Bonsoir,

T'as oublié de faire un changement de variable avant de conclure.

On a 3$ \Bigint \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{4} \Bigint \frac{dx}{1+(\frac{x}{2})^2 }.

On fait maintenant le changement de variable u=\frac{x}{2} , et ona du=\frac{dx}{2}

On a donc : 3$ \Bigint \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{4} \Bigint \frac{2du}{1+u^2 } ,  c'est à dire :

4$ \blue \Bigint \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{2} \Bigint \frac{du}{1+u^2}= \frac{1}{2} arctan(u)+C = \frac{1}{2} arctan(\frac{x}{2})+ C.

Posté par tinou59bis (invité)re : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:37

ah non ok la réponse est dans mon deuxieme poste, c'est parce que  
la dérivée de arctan(x/2) doit etre calculée comme une composée de deux fonctions

merci pour tout!!!

Posté par tinou59bis (invité)re : primitive avec arctan(x) 15-02-07 à 23:39

merci Rouliane tu m'as convaincu !!!!!!

je pourrai dormir sur mes deux oreilles!!!


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