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Primitive avec ch/sh

Posté par
fredo889 15-05-16 à 10:19

Bonjour,

Je viens à vous car je bute sur une primitive... Pourriez vous me donner quelques indices?

f(x)=\int\frac{1}{ch(x)^2+sh(x)^2-1} dx

Merci d'avance, Fred

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:25

Verras-tu mieux si tu réalises que \cosh(x)^2-1=\sinh(x)^2  ?

Posté par
Pirhore : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:30

Bonjour,

je suppose que c'est ch^2(x)  et   sh^2(x).

Si c'est bien le cas, utilise ch^2(x)-sh^2(x)=1 et tu obtiendras une primitive immédiate

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:37

C'est bizarre , un certain nombre de gens ont l'air de penser que \cosh(x)^2 ne veut pas dire "le carré de \cosh(x)"

Posté par
Pirhore : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:46


Comment alors faire la différence avec  le cosh  de x²?

Dans notre cas, ne devrait-on pas écrire (cosh(x))^2  ou cosh^2(x) ?

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:52

C'est très simple : le cosinus hyperbolique de x^2, c'est \cosh(x^2).
L'écriture \cosh(x)^2 est sans ambigüité : \cosh est une fonction, \cosh(x) est un nombre, \cosh(x)^2 le carré de ce nombre.
\cosh^2 est la fonction définie par : pour tout x\in \R, \cosh^2(x)=\cosh(x)^2.
Il y aurait ambigüité si on écrivait, de façon incorrecte,  \cosh x^2 .

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:53

Tu fais la même erreur de lecture que malou ici : Signe d'une intégrale

Posté par
fredo889re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:57

Merci de vos réponses rapides tout d'abord !

J'ai continuer à rechercher sans avoir lu vos réponses et j'ai donc trouvé, mais avec une manière peut être un peu plus longue...

I=\int\frac{1}{cosh(2x)-1}dx
I=\int\frac{1}{\frac{e^2^x-e^-^2^x}{2}-1}dx
I=\int\frac{2*e^2^x}{(e^2^x-e^-2^x-2)*e^2^x}dx
I=\int\frac{2e^2^x}{e^4^x-2e^2^x+1}dx

On pose t=e^2^x
dt=2e^2^xdx

I=\int\frac{1}{t^2-2t+1}dt
I=\int\frac{1}{(t-1)^2}dt
I=\frac{-1}{t-1}dt
d'ou I=\frac{-1}{e^2^x-1}dt

Encore merci !

Posté par
fredo889re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 10:58

Recomic,
Sur ma feuille je l'écris bien, mais j'ai oublier de mettre les parenthèse sur LATEX du style (ch(x))^2, pardon ..

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:02

Ce n'est effectivement pas ce qu'on fait de plus court.

A part ça, je le répète encore une fois : \cosh(x)^2 est une écriture correcte, sans ambigüité, et qui se lit bien "le carré de \cosh(x)".

Posté par
fredo889re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:05

Je retiens pour le carré mais je ne le savais pas avant vois tu !

Et ca marche, tant pis :p mais sinon, dans tous les cas le changement de variable était obligatoire?

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:09

Non, on peut se souvenir que la dérivée de \dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}  est \dfrac{-1}{\sinh(x)^2} .

Posté par
LeDinore : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:09

Bonjour,

Personnellement "sur la feuille", j'écrirais simplement  sh²x  parce que je suis paresseux ...

Et d'ailleurs, je pense que la tentation de Pirho de corriger l'écriture de fredo vient un peu de là...
Je ne crois pas que "sur la feuille" on soit très tenté d'écrire  sh(x)²
... qui est correct, non ambigu... mais quelque part pas très joli.

Et ne me demandez pas pourquoi je ne trouve pas ça joli ...

Posté par
Pirhore : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:12

OK, merci Recomic35

J'en tiendrai compte !!

Posté par
fredo889re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:12

Ca aurait fait donc -1/2 cotanh(x), ou en remplaçant sinh et cosh par leur définition, ça serait retomber sur mon résultat?

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:23

Là, je trouve que l'écriture -1/2\,\mathrm{cotanh}(x) est ambigüe !

N'oublie pas qu'une primitive n'est définie qu'à une constante près ...

Posté par
fredo889re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:29

J'ai été trop vite...,
-\frac{1}{2}*cotanh(x)  !

On nous demande l'ensemble des primitives, d'où la non précision de constante, mais bien sur je ne l'oublie pas celle ci !

Posté par
Recomic35re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:32

Une incorrection d'écriture que je te signale : tu écris ton I avec un dt sur les deux dernières lignes.
Tu peux vérifier que les deux résultats que tu mentionnes diffèrent par une constante non nulle.

Posté par
fredo889re : Primitive avec ch/sh 15-05-16 à 11:45

Sacré copié coller.... oui en effet je n'avais pas vu, merci !


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