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primitive de x²e^(x)

Posté par
morphe77190 23-09-13 à 15:22

Bonjours,

J'ai cherche la primitive de x²e^(x) et je bloque pouvez vous m'aider.

Posté par
Camélia Correcteurre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 15:23

Bonjour

Tu peux faire deux intégrations par parties ou la chercher sous la forme (ax^2+bx+c)e^x

Posté par
Glapion Moderateurre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 15:24

Bonjour, deux intégrations par parties pour faire baisser l'exposant x² à 0
x²exdx = x²d(ex) = ...

Posté par
Glapion Moderateurre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 15:24

ha j'ai encore été trop lent, bonjour Camelia

Posté par
Camélia Correcteurre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 15:28

Bonjour Glapion

Posté par
Otsircre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 15:54

Bonjour,
je me permet juste de vos proposer une éventuelle alternative à celle de Camelia et glapion (mais elle n'est pas forcément mieux, c'est juste pour vous donner un autre point de vu)
x^2e^x=e^{x+2\ln(x)}=(\frac{2}{x}+1-\frac{2}{x})e^{x+2\ln(x)}=(1+\frac{2}{x})e^{x+2\ln(x)}-\frac{2}{x}e^{x+2\ln(x)}
=(1+\frac{2}{x})e^{x+2\ln(x)}-e^{x+\ln x}=(1+\frac{2}{x})e^{x+2\ln(x)}-(1+\frac{1}{x})e^{x+\ln x}+e^x,

les deux premier termes sont de la forme u'e^u et pour le dernier, ça ne devrait pas poser de problème. Donc comme souligné tout à l'heure, elle n'est ni forcément mieux, ni forcément plus rapide, elle a juste l'avantage de ne pas avoir recours à faire une double IPP. Evidemment, la façon la plus rapide est celle proposé par camélia dans son premier post (à savoir de la chercher sous la forme (ax^2+bx+c)e^x) mais encore aurait t-il fallut le démontrer au préalable.

D'ailleurs, vous pourrez montrer assez aisément que x^ne^x=\sum_{n=0}^n(1+\frac{n}{x})e^{x+n\ln(x)}, ce qui permet d'intégrer très facilement par la suite

J'espère que mon complément vous aura été utile,

Posté par
Otsircre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 15:56

Je vous prie de bien vouloir m'excuser, j'ai juste fait un petit oublie dans ma formule générale précédent:

x^ne^x=\sum_{n=0}^n {\red (-1)^n}(1+\frac{n}{x})e^{x+n\ln(x)}

Posté par
Camélia Correcteurre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 16:02

> Otsirc Tes formules supposent x > 0 ce qui n'est pas nécessaire, mais pourquoi pas? (ta dernière formule a un problème d'indices).

Posté par
Otsircre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 16:16

Sincèrement navré pour les bornes. Je ne suis pas encore bien habitué à écrire en latex ainsi qu'à utiliser le forum, d'où mes petites erreurs. J'espère que vous ne serez pas confus(e) avec ce nouveau post:
x^ne^x=\sum_{{\red m}=0}^n (-1)^{{\red m}}(1+\frac{m}{x})e^{x+{\red m}\ln(x)}.

Dans le cas contraire, n'hésitez surtout pas à me le signaler, je tâcherais de clarifier d'avantage mon raisonnement.

Posté par
Camélia Correcteurre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 16:18

Maintenant ça va... et c'est une méthode comme une autre!

Posté par
carpediemre : primitive de x²e^(x) 23-09-13 à 19:36

salut

JFF



y = x2ex

y' = (x2 + 2x)ex           = (1 + 2/x)y (à mettre en parallèle avec la méthode de Otsirc)

y" = (x2 + 4x + 2)ex


donc on regarde et sauf erreur la bonne combinaison linéaire conduit à

y = 2y' - y" + 2ex

les primitives de y sont donc tout simplement

Y = 2y - y' + 2ex + k



bien entendu ça vient par expérience et pratique des équations différentielles ....


l'avantage :: c'est bourrin/mécanique puisque je ne fais que dériver ce que les esclaves/machines savent bien faire ...

et de temps en temps la connerie ça fait du bien

comme disait le regretté Gainsbar :: "la connerie c'est la décontraction de l'intelligence" ...


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