la primitive cos(x).dx/(1 + Sin(2x)). est incorrect .

D'abord : Quelle application considères-tu ?
   Il te faut un intervalle J tel que pourtout x de J , 1 + Sin(2x) soit non nul .

Ensuite tu peux parler de f : J qui à x de J associe f(x) = cos(x)/(1 + sin(2x)) .
C'est uneapplication continue . Elle admet donc des primitives .

L'intervalle serait \{-/4}

rectification, \{-/4;3/4 [mod 2]}

Aucun de tes ensembles n'est un intervalle .
Il te faut enlever { x | sin(2x) = -1 } = - + . Il va te rester _k J_k où J_k = ]-/4 + k , -/4 +(k+1)[
On prend donc k et on va chercher une primitive de f sur J_k . Pour ça on prend a et x  dans J_k et on cuisine _a^x f .
Un a particulier crève les yeux : c'est le milieu a(k) de  J_k et dans F(x) := _a(k)^x f(t) dt on fait le changement de variable : t = a(k) + s pour obtenir : F(x) = (-1)^k₀^x-a(k) g où g(s) = cos(/4 + s)/(1 + cos(2s)) .
Tu es ramené à regarder   ,pour  |y| < /2 , A(y) = ₀^y cos(s)/(1 + cox(2s))ds et  B(y) = ₀^y sin(s)/(1 + cox(2s))ds
L'utilisation de cos(2s) = 2cos²(s) - 1 = 1 - 2sin²(s) ramène à du connu .

Poser x = t - Pi/4

cos(x) = cos(t-Pi/4) = cos(t).cos(Pi/4)+sin(t).sin(Pi/4) = 1/V2 * (cos(t) + sin(t))

sin(2x) = sin(2t - Pi/2) = -cos(2t)

1 + sin(2x) = 1 - cos(2t) = 2sin²(t)

S cos(x)/(1+sin(2x)) dx = (1/(2V2)) * S cos(t)/sin²(t) dt + (1/(2V2)) * S sin(t)/sin²(t) dt
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S cos(t)/sin²(t) dt

Poser sin(t) = u --> cos(t) dt = du

S cos(t)/sin²(t) dt = S du/u² = -1/u = -1/sin(t) = 1/sin(Pi/4 + x)
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S cos(x)/(1+sin(2x) dx = -(1/(2V2))/sin(x + Pi/4) + (1/(2V2)) S dt/sin(t)

S cos(x)/(1+sin(2x) dx = -(1/(2V2))/sin(x + Pi/4) + (1/(2V2))*ln|tan(t/2)|

S cos(x)/(1+sin(2x) dx = -(1/(2V2))/sin(x + Pi/4) + (1/(2V2))*ln|tan(x/2 + Pi/8)|

F(x) = -(1/(2V2))/sin(x + Pi/4) + (1/(2V2))*ln|tan(x/2 + Pi/8)| est une primitive de f(x) = cos(x)/(1+sin(2x))

... sur tout intervalle où f(x) existe.
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Sauf distraction.