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primitive de fonction e(x)

Posté par max67120 (invité) 29-12-04 à 13:02

voila je n'arrive pas a primitiver ces deux fonctions pouvaer vous m'aider s'il vous plai:

e(t)/[(e(t)+1)[/sup]2]

e[sup]2x/(1+e(x))

Posté par max67120 (invité)re : primitive de fonction e(x) 29-12-04 à 13:05

e(t)/[(e(t)+1)^2]

e^2x/(1+e(x))

excuse moi pour le probleme de sintaxe

Posté par
dad97 Correcteurre : primitive de fonction e(x) 29-12-04 à 13:37

Bonjour,

Posons X=1+e^t donc dX=e^tdt=(X-1)dt donc dt=\frac{dX}{X-1}

\int_0^x\frac{e^t}{(1+e^t)^2}dt=\int_2^{1+e^x}\frac{X-1}{X^2}\times \frac{dX}{X-1}=\int_2^{1+e^x}\frac{1}{X^2}dX=[-\frac{1}{X}]_2^{1+e^x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+e^x}

donc une primitive de \frac{e^t}{(1+e^t)^2} est 4$\frac{1}{1+e^t}

Pour la deuxième :
idem on pose X=1+e^x :

\int_0^t\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx=\int_2^{1+e^t}\frac{(X-1)^2}{X}\times \frac{dX}{X-1}=\int_2^{1+e^t}\frac{X-1}{X}dX=\int_2^{1+e^t}1-\frac{1}{X}=[X-ln(X)]_2^{1+e^t}=(1+e^t-ln(1+e^t))-(2-ln(2))=e^t-1-ln(1+e^t)

donc une primitive de 4$\frac{e^{2x}}{1+e^x} est 4$e^x-ln(1+e^x)

Salut

Posté par
Nightmarere : primitive de fonction e(x) 29-12-04 à 13:41

Bonjour quand même

1) I=\int \frac{e^{t}dt}{(e^{t}+1)^{2}}

Ayant :
En posant : u(t)=e^{t}+1 on a :
I=\int \frac{u'(t)dt}{u^{2}(t)}

On en déduit donc d'aprés les formules du cours :
I=-\frac{1}{u(t)}
soit :
I=-\frac{1}{e^{t}+1}

2) J=\int \frac{e^{2x}dx}{1+e^{x}}

En posant le changement de variable :
x=ln(u)\Longrightarrow dx=\frac{du}{u}
on obtient :
J=\int \frac{u^{2}}{1+u}\times\frac{du}{u}
c'est a dire :
J=\int \frac{udu}{1+u}

En faisant quelque manipulation on obtiendra notre résultat :
\begin{tabular} J&=&\int \frac{u}{1+u}du\\&=&\int \frac{u+1-1}{u+1}du\\&=&\int \(\frac{u+1}{u+1}-\frac{1}{u+1}\)du\\&=&\int \(1-\frac{1}{u+1}\)du\\&=&u-ln\|u+1\|\\&=&e^{x}-ln(e^{x}+1)\end{tabular}


Jord

Posté par
Nightmarere : primitive de fonction e(x) 29-12-04 à 13:42

Oups , pris de vitesse

Dsl Dad97


Jord

Posté par
dad97 Correcteurre : primitive de fonction e(x) 29-12-04 à 13:43

eh eh grâce à Nightmare je viens de m'apercevoir que ma conclusion pour la première est fausse bien que les caluls précédents sont justes (un petit soucis de signe vient entâcher ma solution )

Posté par max67120 (invité)re : primitive de fonction e(x) 29-12-04 à 13:47

merci beaucoup


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