Niveau Maths sup

primitive de sin^3 ?

Posté par sandra2 (invité) 30-05-05 à 12:15

bonjour je voudrais connaitre le calcul pour trouver la primitive de sin^3 (x) !
j'ai essayé avec des changements de variables mais ça me donne des résultats bizarres...
merci d'avance

Posté par re : primitive de sin^3 ? 30-05-05 à 12:20

Bonjour, essaie de te servir des duplications habituelles en trigo.
Sinon tu peux toujours utiliser les formules d'euler et de de moivre.

Autre idée:
sin^3=sin*sin²=sin*(1-cos²)=sin-sincos²=sin+(cos^3)'/3
=(-cos+cos^3/3)'

A+

Posté par jiju33 (invité)re : primitive de sin^3 ? 30-05-05 à 17:49

(sin x)³ = sinx*sin²x dx
             = sinx*(1-cos²x)dx
posons u = cos x du = -sinx dx
             = -(1-u²)du
             = -u + u³/3
             = -cos x + (cos x)³/3

Posté par re : primitive de sin^3 ? 30-05-05 à 18:20

Par linéarisation :

$3$\rm sin^{3}(x)=\frac{1}{4}sin 3x-\frac{3}{4}sin x$

On en déduit :
$3$\rm \Bigint sin^{3}(x)dx=\frac{1}{12} cos 3x-\frac{3}{4}cos x$

Jord

Posté par jiju33 (invité)re : primitive de sin^3 ? 30-05-05 à 18:38

si je peux me permettre ta linéarisation est assez fun nightmare lol j'aimerais bien savoir comment tu peux arriver à ce résultat assez improbable !

Posté par re : primitive de sin^3 ? 30-05-05 à 18:50

Oui , désolé , une erreur de signe , c'est plutot :

$sin^{3}(x)=\frac{3}{4}sin(x)-\frac{1}{4}sin(3x)$

Jord

Posté par sandra2 (invité)re : primitive de sin^3 ? 31-05-05 à 19:20

Merci.
Y a juste Nightmare j'ai rien compris à ton truc.
qu'est ce que t'appelles une linearisation??

Posté par re : primitive de sin^3 ? 14-08-05 à 09:11

Je fais remonter ce fil, car une question intéressante était restée sans réponse.

La méthode la plus simple pour calculer cette primitive est celle proposée ci-dessus par otto :
$\Bigint \sin^3x dx=\Bigint \sin x (1-\cos^2x) dx = \Bigint \sin x dx - \frac{1}{3}\Bigint 3 \sin x \cos^2x dx = -\cos y +\frac{cos^3y}{3}$ (1)

Nightmare proposait d'opérer une linéarisation, c'est-à-dire de remplacer les $\sin^nx$ par des $\sin(px)$ .
Ici : $\sin^3x = \frac{3}{4} \sin x - \frac{1}{4}\sin 3x$
Donc : $\Bigint \sin^3x dx = -\frac{3}{4} \cos y +\frac{1}{12} \cos 3y$
On vérifie que c'est la même chose qu'en (1) par... linéarisation de $\cos^3y$ !

Sandra2, tu demandes comment linéariser. Ta fiche indique que tu es en Sup' : tu devrais le savoir

1ère méthode : par la trigonométrie élémentaire
$\sin^3x = \sin x \sin^2 x$
or $\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
donc $\sin^3x = \sin x \frac{1-\cos 2x}{2} = \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{2}\sin x \cos 2x$
or $\sin a \cos b = \frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}$
donc $\sin^3x = \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x + \frac{1}{4}\sin x$
$\sin^3x = \frac{3}{4}\sin x -\frac{1}{4}\sin 3x$

2nde méthode : par les nombres complexes
$\sin^3x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^3=\frac{e^{i3x}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-i3x}}{-8i}=-\frac{1}{4}[\frac{e^{i3x}-e^{-i3x}}{2i}-3\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}]=-\frac{1}{4}(\sin 3x - 3\sin x)=\frac{3}{4}\sin x -\frac{1}{4}\sin 3x$

Nicolas

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