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primitive de sqrt(x-x²)

Posté par
wismer 15-02-10 à 16:10

Bonjour après 45mn de casse tête je vous soumet mon problème, je cherche a calculer la primitive de sqrt(x-x²)

j'ai d'abord tenté le changement de variable en ch sh cos ou sin en passant à la forme canonique:

sqrt((1-X)-(X-1)²) et posé x-1=sh(u) mais je vois pas comment m'en sortir

puis en factorisant par (1-X) toujours sans aboutir...

En ésperant trouver de l'aide je vous remercie!

Posté par
raymond Correcteurre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:22

Bonjour.

D'abord, x est compris entre 0 et 1

Ensuite, \textrm x - x^2 = \fra{1}{4} - (x - \fra{1}{2})^2

x compris entre 0 et 1 signifie que \textrm x - \fra{1}{2} compris entre \textrm - \fra{1}{2} et \textrm \fra{1}{2}

On peut donc poser :

\textrm x - \fra{1}{2} = \fra{1}{2}sin(u), -\fra{\pi}{2} \le \ u \le \ \fra{\pi}{2}

Posté par
sylowere : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:22

Bonjour

si tu posais 2x+1=\cos t ?

Pierre

Posté par
wismerre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:25

Alalala qu'est ce que je peux etre bete, effectivement décomposer en 1/4-(x-1/2)² facilite grandement les choses, merci beaucoup.

Posté par
Camélia Correcteurre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:26

Bonjour

x^2-x=\(x-\frac{1}{2}\)^2-\frac{1}{4}

donc \sqrt{x-x^2}=\frac{\sqrt{1-4(x-(1/2))^2}}{2}

ce qui fait que sin(u)=2(x-(1/2)) devrait être un changement de variable utile!

Posté par
Camélia Correcteurre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:27

Pfff... Bonjour Raymond

Posté par
raymond Correcteurre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:32

Bonjour Camélia

J'aime bien le : Pfff ...

Posté par
slorevivre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:38

bonjour
en fait la courbe de f(x)=\sqrt{x-x^2}est un demi cercle (x^2+y^2-x=0)et  y sup ou egal 0pose x=0.5+0.5cos(u) u \in [0;\pi]
2\int _0 ^af(x)dx=\\ \\ \int _{\pi} ^{Arcos(2a-1)}\sqrt {0.5+0.5\cos(u)-0.25(1+\cos^2(u)+2\cos(u))}(-\sin(u))du\\ \\ =0.5\int _{Arcos(2a-1)}^{\pi}\sqrt {1-\cos^2(u)}(\sin(u))du\\ \\ =0.5\int _{Arcos(2a-1)}^{\pi}(\sin(u))^2 du \\ \\ =0.25\int _{Arcos(2a-1)}^{\pi}(1-\cos(2u)) du\\ \\ =0.25(\pi-Arcos(2a-1))+0.125 sin(2\arcos(2a-1))\\ \\ =0.25(\pi-Arcos(2a-1))+0.25 \sqrt{1-(2a-1)^2}(2a-1) ta primitive est dans la derniere ligne en divisant par 2 :
0.125(\pi-Arcos(2a-1))+0.125 \sqrt{1-(2a-1)^2}(2a-1) ( la variable s'appelle a)

Posté par
slorevivre : primitive de sqrt(x-x²) 15-02-10 à 16:39

Bonjour à tous ,
ah que je suis en retard ... et en plus ca s'est tres mal disposé!!
a plus tard quand je saurai mieux taper


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