Niveau autre

primitive délicate

Posté par
letonio 28-12-05 à 10:14

Bonjour tout le monde,
Je n'arrive pas à comprendre comment je peux trouver une primitive de sqr(4 +x^2).
Pourriez-vous m'indiquer la marche à suivre?

Posté par re : primitive délicate 28-12-05 à 10:26

poses $\fbox{x=2sh(u)}$

Posté par re : primitive délicate 28-12-05 à 11:07

Poser x = 2.sh(u)
dx = 2.ch(u) du

x²+4 = 4(1+sh²(u)) = 4.ch²(u)

$\int \sqrt{4+x^2}\ dx = 4.\int ch^2(u)\ du  =  \int (e^u + e^{-u})^2\ du$

$= \int\ (e^{2u} + e^{-2u} + 2)\ du  = \frac{1}{2}e^{2u} -\frac{1}{2}e^{-2u} + 2u + C$

avec u = argsh(x/2)
-----
Autrement:

Poser x = 2tg(u)
4+x² = 4(1+tg²(u)) = 4/cos²(u)

dx = 2.du/cos²(u)

$\int \sqrt{4+x^2}\ dx = 4.\int\ \frac{du}{cos^3(u)}$

Poser sin(u) = t
cos(u) du = dt
cos²(u) = 1-sin²(u) = 1-t²
cos^4(t) = (1-t²)²

$\int \sqrt{4+x^2}\ dx = 4.\int\ {\frac{dt}{(1-t^2)^2}}$

Et on est ramené à une intégrale de fraction rationnelle classique ...
-----
Sauf distraction.

Posté par re : primitive délicate 28-12-05 à 11:17

C'est coquin quand même comme primitive.
merci à vous.

Posté par re : primitive délicate 28-12-05 à 12:00

Oui mais ce n'est jamais qu'une manière de l'écrire, on peut trouver d'autres expressions sans utiliser le sh ...

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