Niveau BTS

Primitive des fonctions rationnelle

Posté par
Mohciss 28-10-21 à 21:40

Bonjour je sollicite votre aide afin de trouver une primitive.
G(x) =1/ x2+x+1

Cordialement

Posté par re : Primitive des fonctions rationnelle 28-10-21 à 21:47

Bonjour Mohciss.
Je suppose qu'il s'agit d'une primitive de $f(x) = \frac{1}{x^2+x+1}$ .
Tu mets le dénominateur sous forme canonique et tu fais un changement de variable adéquate en connaissant le fait qu'une primitive de $\frac{1}{1+X^2}$ est $\arctan(X)$

Posté par re : Primitive des fonctions rationnelle 28-10-21 à 21:50

Bonsoir,
On parle de $g(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1}$ ?
Parce que votre notation indique $g(x) = \frac{1}{x^2} + x + 1$ .

Posté par re : Primitive des fonctions rationnelle 28-10-21 à 22:09

Merci à vous. Vous m'avez ôtez une épine au pied. Merci beaucoup.

Posté par re : Primitive des fonctions rationnelle 30-10-21 à 01:01

On va la faire :

$x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} =\frac{3}{4}\left(\left(\frac{2}{\sqrt 3}x+\frac{1}{\sqrt 3}\right)^2+1\right)$

On pose $u(x) = \frac{1}{\sqrt 3}(2x+1)$ et on a $u'(x) = \frac{2}{\sqrt 3}$

On a donc :

$\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{2}{\sqrt 3}\frac{u'(x)}{u(x)^2+1}$

D'où les primitives de $f(x) =\frac{1}{x^2+x+1}$ :

$\large \blue \boxed {F(x) = \frac{2}{\sqrt 3}\arctan \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+c}$

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