Tu peux commencer par utiliser la relation entre le cosinus et l'exponantiel complexe. En effet, tu as : .
Ensuite, tu calcule l'intégrale et la ca se gate.
Pour le faire j'ai décomposé l'exponantielle en sa série entière. Tu obtient donc :


A partir de la tu inverses la somme et l'intégrale ( tu as le droit car les séries entières sont absoulument convergent ) et tu finis le calcul ! Je pense que tu devrait obtenir le résultat sous forme de série entière classique mais je me trompe peut être !

Merci pour ta contribution. Je sais que cette primitive est très dure à trouver. Si je comprends bien, je me retrouve avec une série de primitives de la fonction sin(t) à la puissance n. Le problème, c'est que ça non plus, je ne sais pas le résoudre . Cela dit, je peux essayer...

Merci encore et bon WE

Tu as :

Tu poses
Tu as donc une relation de récurrence :


Tu calcules l'intégrale avec une IPP et tu résous l'équation des suites [tex]u_{n}[\tex]

Une fois que tu as calculer cette intégrale, tu vas trouver une série entière avec des sinus. Te dégonfle pas et essaie de trouver si possible la fonction associé. Sinon tu peux la garder sous une forme de série.

OK je vais essayer, merci !

As tu réussi ?

Je présume que tu es sûr que le "a" de ton "asin(t)" est bien une constante !!!

Il aurait mieux alors valu écrire cos(-a*sin(t))

Tel que c'est écrit, asin(t) signifie arcsinus de t et dans cette interprétation, le problème devient presque enfantin.

Vérifie quand même.

Oui, je suis sûr que "a"est une constant (un reel) et ne signifie pas "arc" mais tu as raison, ça prêtais à confusion !

Pour Joann, je n'ai pas encore essayé. Quand tu parles d'intégrer par partie, c'est bien la function int{}^{x}{sin^{n-2}( t )cos( t )cos( t )dt}  ?

Bonne soirée.

Bonsoir,
il me semble qu'on ne peut pas exprimer de primitives de fonctions comme cos(sin(x)) avec des fonctions élémentaires. Un cos(x) devant aurait été bienvenue

Oui c'est bien ca ! Tu as intègre et tu dérives cos ( t ).
Tu devrais arriver à quelque chose de la forme avec f une fonction.

cos(a * sin(t)) = 1 - (a * sin(t))²/2! + (a * sin(t))4/4! - ... + (-1)^n *  (a * sin(t))^(2n)/(2n)!) + ...  

cos(a * sin(x)) = somme(dek=0à+oo)  [(-1)^k *  (a * sin(x))^(2k)/(2k)!)]

Si on se limite par exemple à 7 termes pour f(x): ...

On trouve ceci :



C'est évidemment "approché" et un peu "ennuyeux" à retranscrire, mais c'est assez représentatif.

Et c'est sans problème si on veut ajouter des termes à f(x) et encore approcher plus près la représentation d'un primitive ... via bien entendu Wolfram ou un équivalent, mais cela complique évidemment encore l'écriture.

Désolé pour le doublon dans ma réponse précédente.

Si on ne peut pas le calculer exactement à la main, c'est à dire que la primitive se retrouve sous forme de série, on peut alors essayer de la calculer à l'ordinateur en faisant des majoration et/ou minoration. Ou encore faire des dl en les points interessants pour voir si la série ne se simplifie pas.
Pour choisir la meilleure option il faudrait savoir pourquoi tu veux calculer cette primitive ( dans le cadre de ton TIPE ou bien juste pour l'amour des math ). Si c'est pour le TIPE tu peux faire une résolution informatique, sinon le résultat sous forme de série convient parfaitement je pense !

Attention que ma réponse "colle" bien ... pour des valeurs de a pas trop grandes.
Si a est grand, on est alors conduit par cette méthode à ajouter, pour le calcul, des termes à f(x) ...