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Niveau maths spé
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primitive u*log2(v)

Posté par
pimousse
03-06-11 à 19:16

Bonjour,

je cherche désespérément a calculer la primitive de p(t)*log2(p(t)/c), où c : un entier
et p(t) = 1 - exp(-mu * t) avec mu un paramètre quelconque.

Je suis parti sur une intégration par parties mais je n'arrive pas à aboutir, quelqu'un pourrai-t-il me venir en aide ?

Merci beaucoup.

Posté par
LeHibou
re : primitive u*log2(v) 04-06-11 à 10:11

Bonjour,

La partie délicate est l

Posté par
LeHibou
re : primitive u*log2(v) 04-06-11 à 10:13

...rien, désolé

Posté par
jver
re : primitive u*log2(v) 04-06-11 à 10:41

D'abord, il me semble que le c, on l'oublie!
Ensuite, si on pose donc p(t)=1-e^{-\mu t}, on a dp=-\mu e^{- \mu t}dt et, donc
dt=-\frac{1}{\mu}e^{\mu t} dp=\frac{1}{\mu} \frac{dp}{p-1}

L'intégrale devient:
\frac{1}{\mu}\int \frac{p}{p-1}\log{p}dp

Cette intégrale s'intègre certes, mais le résultat comprend, si je ne m'abuse, une fonction Li2 (dilogarithme)

Posté par
jver
re : primitive u*log2(v) 05-06-11 à 09:04

Les fonctions spéciales ne font pas recettes!

Je me goure?

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 14:33

Hello,

Merci à tous tout d'abord d'avoir consacré un peu de temps à mon problème.

@Jver : En effet, la fonction dilogarithme ....

Cependant, j'ai réussi à quelque peu avancer, mais a présent le sous problème serait d'intégrer ln(u)/(1-u), peut être que celà vous inspire plus que moi, car là je sèche de nouveau honteusement !

Posté par
jver
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 14:44

Justement ...

Par définition (une des ...) des dilogarithmes:
L_2(x)=\int_1^x \frac{\log{u}}{u-1}du

et cela, tu le sais ou tu ne le sais pas. Tu ne peux pas l'inventer. Cette définition, plus simple que bien d'autres, est tirée de "An atlas of functions" de Spanier et Oldham (recommandé) page 231

Après, il suffit de remarquer que:
\frac{p}{p-1}=1+\frac{1}{p-1}
et la boucle est bouclée!

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 14:52

Je n'avais encore jamais entendu parler de ces fonctions.

Après tout pourquoi pas, mais il semble que ton égalité soit valable pour certaine borne, or moi la borne d'intégration inférieure est 0 ( exclus pour simplifier)

donc il semble que le dilogarithme ne soit pas utilisable dans ce cas non ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:16

Bonjour

C'est bien une histoire de Dilogarithme.

>pimousse On te demande une primitive ou une intégrale?

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:22

Je cherche l'intégrale

Posté par
Camélia Correcteur
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:24

Quelle intégrale?

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:26

celle cité plus haut entre les bornes 0 et 1/lambda, ( 0 peut être exclus pour simplifier, et ainsi eviter les division par 0)

Posté par
Camélia Correcteur
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:33

Et ce \lambda n'a aucun rapport avec \mu ou c?

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:35

absolument aucun

Posté par
Camélia Correcteur
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:36

Alors je ne crois pas que l'on puisse faire mieux que ce que proposait jver

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:38

il serait donc impossible de trouver un résultat selon toi ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:51

Impossible est un grand mot! Si on invente des fonctions spéciales c'est bien parce qu'on ne peut pas faire le boulot sans! mais je n'exclus pas une astuce qui donnerait l'intégrale sans passer par une primitive. Elle me parait improbable parce que trop de paramètres indépendants... mais sait-on jamais?

Posté par
pimousse
re : primitive u*log2(v) 06-06-11 à 15:55

Merci beaucoup pour votre aide,
Je vais en discuter avec mon professeur superviseur, dans le cas où celui-ci trouve une astuce, je posterai.



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