Niveau maths spé

primitive usuelle avec arctan

Posté par
iwantulm 04-11-14 à 20:16

Bonjour, j'ai un petit problème (trou de mémoire ? ) en ce qui concerne une primitive de 1/(1+x^4)

pour moi dx/(1+x²) = arctan(x)

alors pourquoi on ne peut pas remplacer x^4 par (x²)² ? ce qui donnerait: dx/(1+x^4)=arctan(x²)

alors que la calculatrice ne me donne pas du tout ça mais quelque chose de très compliqué

Posté par re : primitive usuelle avec arctan 04-11-14 à 20:24

Citation :
alors pourquoi on ne peut pas remplacer

A cause du théorème de dérivation des fonctions composées. Calcule la dérivée de arctan(x²) pour t'en convaincre.
Décompose 1/(1+x⁴) en éléments simples en factorisant 1+x⁴ (trouve ses racines complexes par exemple).

Posté par re : primitive usuelle avec arctan 04-11-14 à 21:07

d'accord merci pour ta réponse ! je vais essayer de décomposer en éléments simples

Posté par re : primitive usuelle avec arctan 04-11-14 à 22:09

Bon voilà j'ai décomposé en élément simple qui est juste, j'ai intégrer terme à terme et à un moment je dois calculer la primitive de 1/4*(1+2*t+t²)
et la il faut utiliser arctan mais je ne vois pas comment

Posté par re : primitive usuelle avec arctan 04-11-14 à 22:10

pardon j'ai oublié une barre de fraction
je dois calculer
dt/(4*(1+2*t+t²))

Posté par re : primitive usuelle avec arctan 05-11-14 à 00:35

$1+t^4=(1+t^2)^2-2t^2=(1+\sqrt 2 t +t^2)(1-\sqrt 2 t +t^2)$

$\dfrac 1{1+t^4}=\dfrac { \frac 1 {2\sqrt 2}t+\frac 1 2}{1+\sqrt 2 t +t^2}+\dfrac {\frac {-1} {2\sqrt 2}t+\frac 1 2}{1-\sqrt 2 t +t^2}=\dfrac 1{4\sqrt 2}\left(\dfrac {2 t +\sqrt 2}{1+\sqrt 2 t +t^2}+\dfrac {\sqrt 2}{1+\sqrt 2 t +t^2}-\dfrac {2 t -\sqrt 2}{1-\sqrt 2 t +t^2}+\dfrac {\sqrt 2}{1-\sqrt 2 t +t^2}\right)$

$\int \frac {2 t +\sqrt 2}{1+\sqrt 2 t +t^2}dt = \ln\left(1+\sqrt 2 t +t^2\right)$

$\int \frac {2 t -\sqrt 2}{1-\sqrt 2 t +t^2}dt = \ln\left(1-\sqrt 2 t +t^2\right)$

$\int \frac {\sqrt 2}{1+\sqrt 2 t +t^2}dt = \int \frac {\sqrt 2}{\frac 1 2 +(t+\frac 1 {\sqrt 2})^2}dt = \int \frac {2\sqrt 2}{1+(\sqrt 2 t+1)^2}dt=2  {\rm arctan}\left(\sqrt 2 t +1\right)$

$\int \frac {\sqrt 2}{1-\sqrt 2 t +t^2}dt = 2  {\rm arctan}\left(\sqrt 2 t -1\right)$

$\red \\ \int \dfrac 1 {1+t^4}dt = \dfrac 1{4\sqrt 2}\left( \ln\left(\dfrac{1+\sqrt 2 t +t^2}{1-\sqrt 2 t +t^2}\right) + 2  {\rm arctan}(\sqrt 2 t +1) +  2  {\rm arctan}(\sqrt 2 t -1) \right)$

Posté par re : primitive usuelle avec arctan 05-11-14 à 00:36

$+cte$

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